Question

【題目】如圖所示，已知正方形ABCD，直角三角形紙板的一個銳角頂點與點A重合，紙板繞點A旋轉時，直角三角形紙板的一邊與直線CD交于E，分別過B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．

（1）當點E在DC延長線時，如圖①，求證：BF=DG﹣FG；

（2）將圖①中的三角板繞點A逆時針旋轉得圖②、圖③，此時BF、FG、DG之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出結論（不必證明）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）圖2：BF=DG+FG，圖3：BF=FG﹣DG．

【解析】

試題分析：（1）如圖①，由四邊形ABCD是正方形，可得AB=AD，由B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．可得∠AFB=∠DGA=90°由角的關系可得∠ABF=∠GAD，可得△ABF≌△ADG可得BF=AG，AF=DG，利用AG=AF﹣FG；即可證得BF=DG﹣FG；

（2）如圖②，由四邊形ABCD是正方形，可得AB=AD，由B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．可得∠AFB=∠DGA=90°由角的關系可得∠ABF=∠GAD，可得△ABF≌△ADG可得BF=AG，AF=DG，利用AG=AF+FG，可得BF=DG+FG；如圖③，由四邊形ABCD是正方形，可得AB=AD，由B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．可得∠AFB=∠DGA=90°由角的關系可得∠ABF=∠GAD，可得△ABF≌△ADG可得BF=AG，AF=DG，利用AG=FG﹣AF，可得BF=FG﹣DG．

試題解析：（1）如圖①，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G，∴∠AFB=∠DGA=90°，∵∠BAF+∠GAD=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠GAD，在△ABF和△ADG中，∵∠AFB=∠DGA，∠ABF=∠DAG，AB=AD，∴△ABF≌△ADG（AAS），∴BF=AG，AF=DG，∵AG=AF﹣FG，∴BF=DG﹣FG；

（2）如圖②，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G，∴∠AFB=∠DGA=90°，∵∠BAF+∠GAD=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAG，在△ABF和△ADG中，∵∠AFB=∠DGA，∠ABF=∠DAG，AB=AD，∴△ABF≌△ADG（AAS），∴BF=AG，AF=DG，∵AG=AF+FG，∴BF=DG+FG；

如圖③，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G，∴∠AFB=∠DGA=90°，∵∠BAF+∠GAD=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAG，在△ABF和△ADG中，∵∠AFB=∠DGA，∠ABF=∠DAG，AB=AD，∴△ABF≌△ADG（AAS），∴BF=AG，AF=DG，∵AG=FG﹣AF，∴BF=FG﹣DG．