Question

二次函數y=ax²+bx+c的自變量x與函數值y的部分對應值如下所示，相應圖象如圖所示，結合表格和圖象回答下列問題：

x	┅	-1	3	3	┅
y=ax2+bx+c	┅	m	m	5	┅

（1）拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是直線x=

1

；
（2）方程ax²+bx+c=0的兩根是x₁=

4

，x₂=

-2

；
（3）求出二次函數y=ax²+bx+c的解析式及m的值；
（4）求當方程ax²+bx+c=k有解時k的取值范圍．（結合圖形直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）根據表中x、y的對應值可知，當x=-1與x=3時y的值相等，所以此兩點關于拋物線的對稱軸對稱，由中點坐標公式即可得出對稱軸的直線方程；
（2）由（1）中拋物線的對稱軸即可得出拋物線與x軸另一交點的坐標，故可得出結論；
（3）把（3，5），（-2，0），（4，0）代入二次函數y=ax²+bx+c即可求出abc的值，進而得出函數的解析式，把x=-1代入即可求出m的值；
（4）根據（3）中拋物線的解析式求出其頂點坐標即可得出k的取值范圍．

解答：解：（1）∵由表中x、y的對應值可知，當x=-1與x=3時y的值相等，
∴對稱軸是直線x=

-1+3

2

=1，
故答案為1；

（2）∵拋物線的對稱軸是x=1，與x軸的一個交點是（4，0），
∴設拋物線與x軸的另一個交點a，則

a+4

2

=1，解得a=-2，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（-2，0），
∴ax²+bx+c=0的兩根是x₁=4，x₂=-2；
故答案為：4，-2；

（3）∵（3，5），（-2，0），（4，0）均在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴

9a+3b+c=5 4a-2b+c=0 16a+4b+c=0

，解得

a=-1 b=2 c=8

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+8，
∵當x=-1時y=m，
∴m=-1-2+8=5；
 
（4）∵由（3）知拋物線的解析式為y=-x²+2x+8，
∴其頂點坐標為：（1，9），
∴當方程ax²+bx+c=k有解時k的取值范圍是k≤9．

點評：本題考查的是二次函數的性質，熟知二次函數與一元二次方程的關系是解答此題的關鍵．