Question

【題目】如圖，二次函數y=+bx﹣的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E．

（1）b= ；點D的坐標： ；

（2）線段AO上是否存在點P（點P不與A、O重合），使得OE的長為1；

（3）在x軸負半軸上是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)1；（﹣3，4）；(2)線段AO上不存在點P（點P不與A、O重合），使得OE的長為1 ；(3).

【解析】

試題分析：（1）利用點在二次函數圖象上，代入即可求得b，將二次函數換成交點式，即能得出B點的坐標，由AD=AB可算出D點坐標；

（2）假設存在，由DP⊥AE，找出∠EPO=∠PDA，利用等角的正切相等，可得出一個關于OP長度的一元二次方程，由方程無解可得知不存在這樣的點；

（3）利用角和邊的關系，找到全等，再利用三角形相似，借助相似比即可求得AM，求出△ADM的面積即是所求．

試題解析：（1）∵點A（﹣3，0）在二次函數y=+bx﹣的圖象上，

∴0=﹣3b﹣，解得b=1，

∴二次函數解析式為y=+x﹣=（x+3）（x﹣1），

∴點B（1，0），AB=1﹣（﹣3）=4，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB=4，

∴點D（﹣3，4），

故答案為：1；（﹣3，4）．

（2）直線PE交y軸于點E，如圖1，

假設存在點P，使得OE的長為1，設OP=a，則AP=3﹣a，

∵DP⊥AE，∠APD+∠DPE+∠EPO=180°，

∴∠EPO=90°﹣∠APD=∠ADP，

tan∠ADP==，tan∠EPO==，

∴=，即﹣3a+4=0，

△=﹣4×4=﹣7＜0，無解，

故線段AO上不存在點P（點P不與A、O重合），使得OE的長為1．

（3）假設存在這樣的點P，DE交x軸于點M，如圖2，

∵△PED是等腰三角形，

∴DP=PE，

∵DP⊥PE，四邊形ABCD為正方形

∴∠EPO+∠APD=90°，∠DAP=90°，∠PAD+∠APD=90°，

∴∠EPO=∠PDA，∠PEO=∠DPA，

在△PEO和△DAP中，

∠EPO=∠PDA，DP=PE，∠PEO=∠DPA，

∴△PEO≌△DAP，

∴PO=DA=4，OE=AP=PO﹣AO=4﹣3=1，

∴點P坐標為（﹣4，0）．

∵DA⊥x軸，

∴DA∥EO，

∴∠ADM=∠OEM（兩直線平行，內錯角相等），

又∵∠AMD=∠OME（對頂角），

∴△DAM∽EOM，

∴，

∵OM+MA=OA=3，

∴MA=×3=，

△PED與正方形ABCD重疊部分△ADM面積為×AD×AM=×4×=．

答：存在這樣的點P，點P的坐標為（﹣4，1），此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為．