Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，點P是三角形右外一點，且∠APB=∠ABC．

（1）如圖1，若∠BAC=60°，點P恰巧在∠ABC的平分線上，PA=2，求PB的長；

（2）如圖2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的數量關系，并證明；

（3）如圖3，若∠BAC=120°，請直接寫出PA，PB，PC的數量關系．

Answer 1

【答案】(1)、BP=4；(2)、PA+PC=PB，證明過程見解析；(3)、PA+PC=PB，證明過程見解析.

【解析】

試題分析：(1)、根據題意得出△ABC為等邊三角形，根據點P在∠ABC的平分線上，則∠ABP=30°，根據∠PAB=90°得出BP=2AP；(2)、在BP上截取PD，使PD=PA，連結AD，證明△ABD和△ACP全等，從而得出PC=BD，得出所求的答案；(3)、根據第二題同樣的方法得出線段之間的關系.

試題解析：(1)、∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∠APB=∠ABC，∴∠APB=60°，

又∵點P恰巧在∠ABC的平分線上，∴∠ABP=30°∴∠PAB=90°．∴BP=2AP，∵AP=2，∴BP=4．

(2)、結論：PA+PC=PB．

在BP上截取PD，使PD=PA，連結AD．

∵∠APB =60°，∴△ADP是等邊三角形，∴∠DAP =60°，

∴∠1=∠2，PA=PD，又∵AB=AC，∴△ABD≌△ACP，∴PC=BD，∴PA+PC=PB．

(3)、結論：PA+PC=PB．