Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長DE交BC的延長線于點F．

（1）求證：BD＝BF；

（2）填空：

①若⊙O的半徑為5，tanB＝，則CF＝　 　；

②若⊙O與BF相交于點H，當∠B的度數為　 　時，四邊形OBHE為菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①2；②60°

【解析】

（1）如圖1中，連接OE．利用三角形的中位線定理證明BF＝2OE，再根據BD＝2OE即可證明．

（2）①如圖1中，想辦法求出BC，BF即可解決問題．

②結論：當∠B＝60°時，四邊形BOEH是菱形．如圖2中，連接OE，EH．首先證明OB∥EH，根據OE∥BC，推出四邊形BOEH是平行四邊形即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，連接OE．

∵AE是⊙O的切線，

∴OE⊥AC，

∴∠AEO＝∠ACB＝90°，

∴OE∥BC，

∵OB＝OD，

∴DE＝EF，

∴BF＝2OE，

∵BD＝2OE，

∴BD＝BF．

（2）①解：如圖1中，由題意BD＝BF＝2OE＝10，

∵OE∥BC，

∴∠AOE＝∠B，

∴tan∠AOE＝tan∠B＝

∵OE＝5，

∴AE＝，

∵AE2＝ADAB，

∴＝AD（AD+10），

解得AD＝或﹣（舍棄）

∵∠ACB＝90°，設AC＝4k，BC＝3k，

則有（10+）2＝16k2+9k2，

解得k＝或﹣（舍棄），

∴BC＝3k＝8，

∴CF＝BF﹣BC＝10﹣8＝2．

故答案為2．

②解：結論：當∠B＝60°時，四邊形BOEH是菱形．

理由：如圖2中，連接OE，EH．

∵BD＝BF，∠B＝60°，

∴△BDC是等邊三角形，

∴∠BDE＝60°，

∵∠BHE+∠BDE＝180°，

∴∠BHE＝120°，

∴∠B+∠BHE＝180°，

∴OB∥HE，

∵OE∥BH，

∴四邊形BOEH是平行四邊形，

∵OB＝OE，

∴四邊形BOEH是菱形．

故答案為60°．