Question

【題目】在正方形 ABCD 中，M 是 BC 邊上一點，且點 M 不與 B、C 重合，點 P 在射線 AM 上，將線段 AP 繞點 A 順時針旋轉 90°得到線段 AQ，連接BP，DQ．

（1）依題意補全圖 1；

（2）①連接 DP，若點 P，Q，D 恰好在同一條直線上，求證：DP2+DQ2=2AB2；

②若點 P，Q，C 恰好在同一條直線上，則 BP 與 AB 的數量關系為： ．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②BP=AB．

【解析】

（1）根據要求畫出圖形即可；

（2）①連接BD，如圖2，只要證明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解決問題；

②結論：BP=AB，如圖3中，連接AC，延長CD到N，使得DN=CD，連接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；

（1）解：補全圖形如圖 1：

（2）①證明：連接 BD，如圖 2，

∵線段 AP 繞點 A 順時針旋轉 90°得到線段 AQ，

∴AQ=AP，∠QAP=90°，

∵四邊形 ABCD 是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=90°，

∴∠1=∠2．

∴△ADQ≌△ABP，

∴DQ=BP，∠Q=∠3，

∵在 Rt△QAP 中，∠Q+∠QPA=90°，

∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，

∵在 Rt△BPD 中，DP2+BP2=BD2， 又∵DQ=BP，BD2=2AB2，

∴DP2+DQ2=2AB2．

②解：結論：BP=AB．

理由：如圖 3 中，連接 AC，延長 CD 到 N，使得 DN=CD，連接 AN，QN．

∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，

∴DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，

∵∠AQP=45°，

∴∠NQC=90°，

∵CD=DN，

∴DQ=CD=DN=AB，

∴PB=AB．