Question

如圖,直線AB與坐標軸分別交于點A、點B,且OA、OB的長分別為方程x²－6x+8=0的兩個根（OA＜OB）,點C在y軸上,且OA︰AC=2︰5,直線CD垂直于直線AB于點P,交x軸于點D.

（1）求出點A、點B的坐標.
（2）請求出直線CD的解析式.
（3）若點M為坐標平面內任意一點,在坐標平面內是否存在這樣的點M,使以點B、P、D、M為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點M的坐標；若不存在,請說明理由.

Answer 1

（1）A(0,2)，B(－4,0);（2）直線CD的解析式:y_CD=－2x+7;（3）存在，P₁(－5.5 , 3),P₂(9.5 , 3),P₃(－2.5 , －3)．

試題分析：（1）根據一元二次方程的解法得出OA=2，OB=4，即可得出的A，B的坐標；
（2）首先利用角之間的關系得出△BOA∽△COD，即可得出D點的坐標，再利用待定系數法求一次函數解析式；
（3）先求出P點坐標（2，3），再根據平行四邊形的性質，當PM=BD，M可在第一象限或第二象限，以及BM=PD時M在第三象限分別分析直接得出答案．
試題解析：(1)∵ 
∴
∵OA、OB為方程的兩個根，且OA＜OB
∴OA=2，OB=4,
∴ A(0,2)，B(－4,0),
(2)∵OA:AC=2:5
∴ AC=5
∴OC=OA+AC=2+5=7
∴ C(0,7),
∵∠BAO=∠CAP,∠CPB=∠BOA=90^O
∴∠PBD=∠OCD
∵∠ BOA=∠COD=90^O
∴△BOA∽△COD
∴=
∴ OD===,
∴D(,0)
設直線CD的解析式為 
把x=0,y=7;x=,y=0分別代入得：

∴,
∴y_CD=－2x+7,
(3)存在，P₁(－5.5,3),P₂(9.5,3),P₃(－2.5,－3)．