Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，3），作直線BC．動點P在x軸上運動，過點P作PM⊥x軸，交拋物線于點M，交直線BC于點N，設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P在線段OB上運動時，求線段MN的最大值；

（3）是否存在點P，使得以點C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)線段MN最大值為；(3)存在點P，使得以點C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，此時m的值為或．

【解析】

（1）根據點A、C的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）由二次函數圖象上點的坐標特征可找出點B的坐標，根據點B、C的坐標，利用待定系數法可求出直線BC的解析式，設點P的坐標為（m，0）（0≤m≤3），點M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），點N的坐標為（m，﹣m+3），由此即可得出MN＝﹣m2+3m，利用配方法即可求出線段MN的最大值；

（3）根據平行四邊形的性質可得出MN＝OC，分m＜0或m＞3以及0≤m≤3兩種情況，即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出結論．

(1)將A(﹣1，0)、C(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c中，

，解得：,

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

(2)當y＝﹣x2+2x+3＝0時，x1＝﹣1，x2＝3，

∴點B的坐標為(3，0)．

設直線BC的解析式為y＝kx+b(k≠0)，

將B(3，0)、C(0，3)代入y＝kx+b中，

,，解得：，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3．

設點P的坐標為(m，0)(0≤m≤3)，點M的坐標為(m，﹣m2+2m+3)，

點N的坐標為(m，﹣m+3)，

∴MN＝﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m2+3m＝﹣(m﹣)2+，

∴當m＝，線段MN取最大值，最大值為．

(3)∵MN∥CO，

∴當MN＝CO時，以點C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．

∵點O(0，0)、C(0，3)，

∴OC＝3，

∴|﹣m2+3m|＝3，

當m＜0或m＞3時，有m2﹣3m＝3，

解得：m1＝，m2＝；

當0≤m≤3時，有﹣m2+3m＝3，

∵△＝(﹣3)2﹣4×1×3＝﹣3＜0，

∴此時方程無解．

綜上所述：存在點P，使得以點C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，此時m的值為或．