Question

如圖1，Rt△BAD與Rt△BCD的直角頂點A、C在斜邊BD所在直線的兩旁．連接AC，
（1）點O、E分別是AC、BD的中點，過點C作AE的平行線與EO的延長線交于點F，求證：四邊形AFCE是菱形．
（2）如果Rt△BAD與Rt△BCD的直角頂點A、C在斜邊BD所在直線的同側（如圖2），保持（1）中其它條件不變，則（1）中的結論是否成立？請在圖2上畫出相應圖形并寫明結論．（畫出圖形，寫明結論，不需證明）
（3）在圖2中，過B、D兩點分別向AC所在直線作垂線，垂足為M、N（如圖3），則AM與CN是否相等？如果相等，給出證明；如果不相等，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵在Rt△BAD與Rt△BCD中，BD是斜邊，E是BD的中點，
∴AE=BD，CE=BD，
∴AE=CE，
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，
∵OE=OF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AE=CE，
∴平行四邊形AECF是菱形；

（2）結論：四邊形AFCE是菱形．

（3）解：如圖3：
∵四邊形AFCE是菱形，
∴EF⊥AC，OA=OC，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴BM∥OE∥DN，
∴BE：DE=OM：ON，
∵BE=DE，
∴OM=ON，
∴AM=CN．
分析：（1）由直角三角形斜邊上的中線長為斜邊的一半，即可證得AE=CE，由AE∥CF，易證得內錯角相等，則可得△AEO≌△CFO，得到AE=CF，則證得四邊形AECF是菱形；
（2）同理可得四邊形AECF是菱形；
（3）首先菱形的性質，可得EF⊥AC，OA=OC，利用垂直于同一直線平行，可證得BM∥OE∥DN，利用平行線分線段成比例定理，即可證得結論的正確性．
點評：此題考查了菱形的判定與性質和平行線分線段成比例定理，以及直角三角形的性質．此題圖形很復雜，所以要注意仔細分析圖形．解此題的關鍵是數形結合思想的應用．