Question

如圖，將OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐標系中，動點M、N以每秒1個單位的速度分別從點A、C同時出發，其中點M沿AO向終點O運動，點N沿CB向終點B運動，當兩個動點運動了t秒時，過點N作NP⊥BC，交OB于點P，連接MP．
（1）點B的坐標為

 

；用含t的式子表示點P的坐標為

 

；
（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數關系式（0＜t＜6）；并求t為何值時，S有最大值？
（3）試探究：當S有最大值時，在y軸上是否存在點T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC面積的

1

3

？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由OA=6，AB=4，易得點B的坐標為（6，4）；由圖可得，點P的橫坐標=CN=t，縱坐標=4-NP，NP的值可根據相似比求得；
（2）由（1）的結論易得△OMP的高為

2

3

t，而OM=6-AM=6-t，再根據三角形的面積公式即可求得S與t的函數關系式，再由二次函數的最值求法，求得t為何值時，S有最大值；
（3）由（2）求得點M、N的坐標，從而求得直線ON的函數關系式；設點T的坐標為（0，b），可得直線MT的函數關系式，解由兩個關系式組成的方程組，可得點直線ON與MT的交點R的坐標；由已知易得S_△OCN=

1

2

×4×3=6，∴S_△ORT=

1

3

S_△OCN=2；然后分兩種情況考慮：①當點T在點O、C之間時，②當點T在點OC的延長線上，從而求得符合條件的點T的坐標．

解答：解：（1）延長NP交OA于H，
∵矩形OABC，
∴BC∥OA，∠OCB=90°，
∵PN⊥BC，
∴NH∥OC，
∴四邊形CNHO是平行四邊形，
∴OH=CN，
∵OA=6，AB=4，
∴點B的坐標為（6，4）；
由圖可得，點P的橫坐標=0H=CN=t，縱坐標=4-NP，
∵NP⊥BC，
∴NP∥OC，
∴NP：OC=BN：CB，
即NP：4=（6-t）：6，
∴NP=4-

2

3

t，
∴點P的縱坐標=4-NP=

2

3

t，
則點P的坐標為（t，

2

3

t）；
（其中寫對B點得1分）（3分）

（2）∵S_△OMP=

1

2

×OM×

2

3

t，（4分）
∴S=

1

2

×（6-t）×

2

3

t=-

1

3

t2+2t．
=-

1

3

(t-3)2+3（0＜t＜6）．（6分）
∴當t=3時，S有最大值．（7分）

（3）存在．
由（2）得：當S有最大值時，點M、N的坐標分別為：M（3，0），N（3，4），
則直線ON的函數關系式為：y=

4

3

x．
設點T的坐標為（0，b），則直線MT的函數關系式為：y=-

b

3

x+b，
解方程組

y= 4 3 x y=- b 3 x+b

得

x= 3b 4+b y= 4b 4+b

，
∴直線ON與MT的交點R的坐標為(

3b

4+b

，

4b

4+b

)．
∵S_△OCN=

1

2

×4×3=6，
∴S_△ORT=

1

3

S_△OCN=2．（8分）
①當點T在點O、C之間時，分割出的三角形是△OR₁T₁，如圖，作R₁D₁⊥y軸，D₁為垂足，
則S_△OR1T1=

1

2

RD₁•OT=

1

2

•

3b

4+b

•b=2．
∴3b²-4b-16=0，b=

2±2 13

3

．
∴b₁=

2+2 13

3

，b₂=

2-2 13

3

（不合題意，舍去）
此時點T₁的坐標為（0，

2+2 13

3

）．（9分）
②當點T在OC的延長線上時，分割出的三角形是△R₂NE，如圖，設MT交CN于點E，由①得點E的橫坐標為

3b-12

b

，作R₂D₂⊥CN交CN于點D₂，則
S_△R2NE=

1

2

•EN•R₂D₂=

1

2

•(3-

3b-12

b

)•(4-

4b

4+b

)=

96

b(4+b)

=2．
∴b²+4b-48=0，b=

-4± 16+4×48

2

=±2

13

-2．
∴b₁=2

13

-2，b₂=-2

13

-2（不合題意，舍去）．
∴此時點T₂的坐標為（0，2

13

-2）．
綜上所述，在y軸上存在點T₁（0，

2+2 13

3

），T₂（0，2

13

-2）符合條件．（10分）

點評：此題綜合性較強，考查了點的坐標、平行線分線段成比例、二次函數的最值、一次函數的應用等知識點．