Question

探索與研究：
原題再現：如圖，圓柱形木塊的高為8，底面半徑為2，下底面A點處有一螞蟻，想吃到上底面相對的B點處的食物，需沿圓柱表面爬行的最短路程是多少？（原題不須解答．以下π均取近似值3）
（1）思考：沿圓柱表面爬行一定是沿側面爬行嗎？若沿A→C→B爬行，則路程是

12

；
（2）繼續思考：是否一定是沿側面爬行的路徑最短呢？若圓柱的高為5，底面半徑為4，試通過計算比較沿側面爬行路程，l₁與沿A→C→B爬行路程l₂的長短；
（3）深入思考：若設圓柱的高為h，底面半徑為r，試研究r與h的關系對兩種路徑長短的影響．

Answer 1

分析：（1）利用圓柱形木塊的高為8，底面半徑為2，即可得出沿A→C→B爬行的路程；
（2）根據勾股定理以及線段長度得出即可；
（3）利用分類討論得出①當l₁=l₂時，②當l₁＞l₂時，③當l₁＜l₂時，r與h的關系．

解答：解；（1）不一定，
若沿A→C→B爬行，則路程是8+2+2=12；
故答案為：12；

（2）∵展開圖的邊長為：π×4≈12和5，
∴l₁=

52+122

=13，l₂=5+4+4=13，
∴兩種路徑一樣長；

（3）l₁=

h2+(3r)2

=

h2+9r2

，
l₂=h+2r，
①當l₁=l₂時，兩種路徑相同，
∴h+2r=

h2+9r2

，
兩邊平方并整理得出：5r²=4hr，即r=

4

5

h；
②當l₁＞l₂時，路徑A→C→B最短，
∴

h2+9r2

＞h+2r，
∴5r＞4h，即r＞

4

5

h；
③當l₁＜l₂時，沿側面爬行路途最短，
∴

h2+9r2

＜h+2r，
∴5r＜4h，即r＜

4

5

h．

點評：此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，利用分類討論得出是解題關鍵．