Question

拋物線y=

1

2

x²+（k+

1

2

）x+（k+1）（k為常數）與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜0＜x₂）兩點，與y軸交于C點，且滿足（OA+OB）²=OC²+16．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設M、N是拋物線在x軸上方的兩點，且到x軸的距離均為1，點P是拋物線的頂點，問：過M、N、C三點的圓與直線CP是否只有一個公共點C？試證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由（OA+OB）²=OC²+16，可以解得k的值．
（2）由拋物線上的點M、N在x軸上方，且到x軸距離均為1，設MN交y軸于E，求出M、N兩點坐標，在Rt△MEC中，MC²=5，同理NC²=20，又∵MN²=25，MN²+MC²=NC²，可證MN是過M、N、C三點的圓的直徑，作CF⊥DP于F，連接CD，則CFDE為矩形，在Rt△MEC中和△CDP中，可知即CP²+CD²=DP²，進而證明．

解答：解：（1）∵（OA+OB）²=OC²+16，
∴（-x₁+x₂）²=OC²+16，
∴4（k+

1

2

）²-4×2×（k+1）=（k+1）²+16，
解得k₁=-2，k₂=4．
∵x₁＜0＜x₂，
∴x₁•x₂=2（k+1）＜0，
即k＜-1，
∴k=-2．
∴拋物線解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-1

（2）過M、N、C三點的圓與直線CP只有一個公共點C．證明如下：
如圖，∵拋物線上的點M、N在x軸上方，且到x軸距離均為1，設MN交y軸于E，
則M（-1，1），N（4，1），且C（0，-1），P（

3

2

，-

17

8

），
在Rt△MEC中，MC²=5，同理NC²=20，
又∵MN²=25，MN²-MC²=NC²，
∴∠MCN=90°．
故MN是過M、N、C三點的圓的直徑，圓心D（

3

2

，1），
作CF⊥DP于F，連接CD，
則CFDE為矩形．
FD=CE=2，CF=ED=

3

2

，
又∵PF=

9

8

，
在Rt△CFP中，CP²=CF²+PF²=（

3

2

）²+（

9

8

）²=

225

64

，
在△CDP中，DP²-CD²=（

25

8

）²-（

5

2

）²=

225

64

=CP²，
即CP²+CD²=DP²，
∴CP⊥CD，直線CP與⊙D相切于點C，
故直線CP和過M、N、C三點的圓只有一個公共點C．

點評：本題二次函數的綜合題，要求會求二次函數的解析式和兩圖象的交點，會判定直線和圓相切，本題步驟有點多，做題需要細心．