Question

【題目】如圖已知直線與拋物線y=ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）兩點，拋物線y=ax2+bx+c交y軸于點C（0，﹣），交x軸正半軸于D點，拋物線的頂點為M．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點P為直線AB下方的拋物線上一動點，當△PAB的面積最大時，求△PAB的面積及點P的坐標；

（3）若點Q為x軸上一動點，點N在拋物線上且位于其對稱軸右側，當△QMN與△MAD相似時，求N點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2），P（，）；（3）N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1﹣）．

【解析】

（1）將點代入，求出，將點代入，即可求函數解析式； （2）如圖，過作軸，交于，求出的解析式，設，表示點坐標，表示長度，利用，建立二次函數模型，利用二次函數的性質求最值即可， （3）可證明△MAD是等腰直角三角形，由△QMN與△MAD相似，則△QMN是等腰直角三角形，設 ①當MQ⊥QN時，N（3，0）； ②當QN⊥MN時，過點N作NR⊥x軸，過點M作MS⊥RN交于點S，由（AAS），建立方程求解； ③當QN⊥MQ時，過點Q作x軸的垂線，過點N作NS∥x軸，過點作R∥x軸，與過M點的垂線分別交于點S、R；可證△MQR≌△QNS（AAS），建立方程求解； ④當MN⊥NQ時，過點M作MR⊥x軸，過點Q作QS⊥x軸，過點N作x軸的平行線，與兩垂線交于點R、S；可證△MNR≌△NQS（AAS），建立方程求解．

解：（1）將點代入，∴，

將點代入，

解得：，

∴函數解析式為；

（2）如圖，過作軸，交于，設為，

因為：所以：

，解得：，

所以直線AB為：，設，則，

所以：，

所以：

，

當，，

此時：．

（3）∵，

∴，

∴△MAD是等腰直角三角形．

∵△QMN與△MAD相似，∴△QMN是等腰直角三角形，

設

①如圖1，當MQ⊥QN時，此時與重合，N（3，0）；

②如圖2，當QN⊥MN時，過點N作NR⊥x軸于，過點M作MS⊥RN交于點S．

∵QN=MN，∠QNM=90°，∴（AAS），

∴，

∴ ，，∴，∴；

③如圖3，當QN⊥MQ時，過點Q作x軸的垂線，過點N作NS∥x軸，過點作 R∥x軸，與過點的垂線分別交于點S、R；

∵QN=MQ，∠MQN=90°，∴△MQR≌△QNS（AAS），,

,∴，∴t=5，（舍去負根）∴N（5，6）；

④如圖4，當MN⊥NQ時，過點M作MR⊥x軸，過點Q作QS⊥x軸，

過點N作x軸的平行線，與兩垂線交于點R、S；

∵QN=MN，∠MNQ=90°，∴△MNR≌△NQS（AAS），∴SQ=RN，

∴，∴．

，∴，∴；

綜上所述：或或N（5，6）或．