Question

(本小題滿分9分)

如圖所示，菱形ABCD的頂點A、B在x軸上，點A在點B的左側，點D在y軸的正半軸上，∠BAD=60°，點A的坐標為(－2，0)．
⑴求線段AD所在直線的函數表達式．
⑵動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度，按照A→D→C→B→A的順序在菱形的邊上勻速運動一周，設運動時間為t秒．求t為何值時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切？

Answer 1

（1）
（2）t=2

解：⑴∵點A的坐標為(－2，0)，∠BAD=60°，∠AOD=90°，
∴OD=OA·tan60°=，
∴點D的坐標為（0，），  1分
設直線AD的函數表達式為，
，解得，
∴直線AD的函數表達式為.    3分
⑵∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
AD=DC=CB=BA=4，   5分
如圖所示：

①點P在AD上與AC相切時，
AP1=2r=2，
∴t1="2."     6分
②點P在DC上與AC相切時，
CP2=2r=2，
∴AD+DP2=6，
∴t2="6."     7分
③點P在BC上與AC相切時，
CP3=2r=2，
∴AD+DC+CP3=10，
∴t3="10.   " 8分
④點P在AB上與AC相切時，
AP4=2r=2，
∴AD+DC+CB+BP4=14，
∴t4=14，
∴當t=2、6、10、14時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切. 9分