Question

（2005•大連）如圖，操作：把正方形CGEF的對角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CG＞BC），取線段AE的中點M．
探究：線段MD、MF的關系，并加以證明．
說明：（1）如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；
（2）在你經歷說明（1）的過程后，可以從下列①、②、③中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明．
注意：選取①完成證明得10分；選取②完成證明得7分；選取③完成證明得5分．
①DM的延長線交CE于點N，且AD=NE；②將正方形CGEF6繞點C逆時針旋轉45°（如圖），其他條件不變；③在②的條件下，且CF=2AD．
附加題：將正方形CGEF繞點C旋轉任意角度后（如圖），其他條件不變．探究：線段MD、MF的關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：根據觀察它們的關系可能是MD=MF，MD⊥MF．證明思路：可以通過構建三角形來證明．延長DM交CE于點N，連接FD、FN．根據等腰直角三角形的性質，我們可以通過證明三角形DFN為等腰直角三角形，M為其斜邊的中點來實現．那么我們要證明三角形DFN是個等腰直角三角形，且DM=MN．即要證明DF=FN，DM=MN，∠DFN=90度．如果要證明DM=MN，那么可通過證明三角形ADM和MNE全等來實現．由于AD∥BE，那么∠1=∠2，M為AE中點，AM=ME，對頂角∠3=∠4，根據ASA可得出△ADM≌△ENM，那么可得出MN=DM，AD=NE．下一步證明△DCF和△FNE全等即可．現在可得出的兩個三角形中相等的條件是：AD=DC=NE，CF=EF（同為正方形CGEF的邊），只要證明出∠DCF=∠FEN即可．我們發現CE時正方形CGEF的對角線，那么∠FCE=∠FEC=45°，DC⊥CE，那么∠DCF=90°-∠FCE=45°=∠FEC，這樣根據CD=NE，CF=EF，∠DCF=∠FEN可根據SAS得出△DCF和△FNE全等那么DF=FN，∠5=∠6，∠6+∠CFN=∠CFE=90°，那么∠5+∠CFN也應該是90°，又由上面證得的DM=MN，那么我們可得出DFN是個等腰直角三角形，且M是斜邊DN的中點，因此可得出MD=MF，MD⊥MF．
附加題：證明思路同上，只不過輔助線的作法略有不同，本題過點E作AD的平行線分別交DM、DC的延長線于N、H，連接DF、FN．還是通過證明DFN是個等腰直角三角形且M是DN的中點來實現．
解答：證明：關系是：MD=MF，MD⊥MF
如圖，延長DM交CE于點N，連接FD、FN

∵正方形ABCD，
∴AD∥BE，AD=DC，
∴∠1=∠2
又∵AM=EM，∠3=∠4
∴△ADM≌△ENM
∴AD=EN，MD=MN
∵AD=DC，∴DC=NE
又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°
又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°．∴∠DCF=∠NEF=45°
∴△FDC≌△FNE
∴FD=FN，∠5=∠6
∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°
又∵DM=MN=DN，
∴M為DN的中點，
∴FM=DN，
∴MD=MF，DM⊥MF
思路一：∵四邊形ABCD、CGEF是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°
CF=EF=EG=CG，∠G=∠GEF=∠EFC=∠FCG=90°，∠FCE=∠FEC=45°
∴∠DCF=∠FEC
思路二：
延長DM交CE于N，∵四邊形ABCD、CGEF是正方形
∴AD∥CE，∴∠DAM=∠NEM
又∵∠DMA=∠NME，AM=EM，∴△ADM≌△ENM
思路三：∵正方形CGEF，
∴∠FCE=∠FEC=45°
又∵正方形ABCD，
∴∠DCB=90°．
∴∠DCF=180°-∠DCB-∠FCE=45°，∠DCF=∠FEC=45°
選取條件①
證明：如圖
∵正方形ABCD，
∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2
∵AD=NE，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM
∴MD=MN
又∵AD=DC，
∴DC=NE
又∵正方形CGEF，
∴FC=FE，∠FCE=∠FEN=45°．
∴∠FCD=∠FEN=45°
∴△FDC≌△FNE
∴FD=FN，∠5=∠6，
∴∠DFN=∠CFE=90°
∴MD=MF，MD⊥MF
選取條件②
證明：如圖，
延長DM交FE于N

∵正方形ABCD、CGEF
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE．
∴∠1=∠2
又∵MA=ME，∠3=∠4，
∴△AMD≌△EMN
∴MD=MN，AD=EN．
∵AD=DC，
∴DC=NE
又∵FC=FE，
∴FD=FN
又∵∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．
選取條件③
證明：如圖，
延長DM交FE于N．
∵正方形ABCD、CGEF
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE
∴∠1=∠2
又∵MA=ME，∠3=∠4，
∴△AMD≌△EMN
∴AD=EN，MD=MN．
∵CF=2AD，EF=2EN
∴FD=FN．又∵∠DFN=90°，
∴MD=MF，MD⊥MF

附加題：
證明：如圖
過點E作AD的平行線分別交DM、DC的延長線于N、H，連接DF、FN
則∠ADC=∠H，∠3=∠4．
∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△ADM≌△ENM
∴DM=NM，AD=EN．
∵正方形ABCD、CGEF
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，CG∥FE
∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°
∴∠DCF=∠5=∠NEF
∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°
∴∠DFN=90°．
∴DM=FM，DM⊥FM．
點評：本題考查的全等三角形的判定和正方形的性質的綜合運用，本題中的難點是輔助線的作法，作好輔助線找對解題的方向是本題解答的關鍵所在．