Question

已知方程

y2=4x y=2x+m

(m≠0)有兩個不同的實數解

x=x1 y=y1

和

x=x2 y=y2

(x1≠x2)，
（1）求m的取值范圍；
（2）當m=-2時，求

x2

x1

+

x1

x2

的值．

Answer 1

分析：（1）把②代入①，根據方程有兩個不相等的實數根，即△＞0解答．
（2）把②代入①得到關于x的一元二次方程，把m=-2代入此方程，再根據根與系數的關系解答即可．

解答：解：（1）把②代入①得（2x+m）²=4x，
整理得4x²+4x（m-1）+m²=0，
∵方程有兩個不相等的實數根，
故△＞0，
即△=[4（m-1）]²-4×4m²＞0，
16-32m＞0
∴m＜

1

2

；
（2）把m=-2代入4x²-4x（m-1）+m²=0得，
4x²-4x（-2-1）+（-2）²=0，
整理得：4x²-12x+4=0
∴△=（-12）²-4×4×4=144-64=80＞0，
故方程有兩個不相等的實數根．
∴x₁+x₂=3，
x₁x₂=1，
故

x2

x1

+

x1

x2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=3²-2=7．

點評：總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系及根與系數的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
（4）若一元二次方程有實數根，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．