Question

已知：如圖，△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于D，CF交AD于點F，連接BF并延長交AC于點E，∠BAD=∠FCD．
求證：（1）△ABD≌△CFD；
（2）BE⊥AC．

Answer 1

分析：（1）由垂直的性質推出∠ADC=∠FDB=90°，再由∠ACB=45°，推出∠ACB=∠DAC=45°，即可求得AD=CD，根據全等三角形的判定定理“ASA”，即可推出結論，（2）由（1）的結論推出BD=DF，根據AD⊥BC，即可推出∠DBF=∠DFB=45°，再由∠ACB=45°，通過三角形內角和定理即可推出∠BEC=90°，即BE⊥AC．

解答：證明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠FDB=90°．
∵∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠DAC=45°，
∴AD=CD，
∵在△ABD和△CFD中，

∠ADB=∠CDF AD=CD ∠BAD=∠FCD

，
∴△ABD≌△CFD（ASA），

（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=FD，
∵∠FDB=90°，
∴∠FBD=∠BFD=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC．

點評：本題主要考查全等三角形判定定理及性質，垂直的性質，三角形內角和定理，等腰直角三角形的性質等知識點，關鍵在于熟練的綜合運用相關的性質定理，通過求證△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求出∠FBD=∠BFD=45°．