Question

（2012•貴陽模擬）閱讀下列材料：
已知點P的坐標為（m，0），在x軸上存在點Q（不與P點重合），以PQ為邊作正方形PQMN，使點M落在反比例函數y=-

2

x

的圖象上．小明對上述問題進行了探究，發現不論m取何值，符合上述條件的正方形一定有兩個，如圖所示，并且一個正方形的頂點M在第四象限，另一個正方形的頂點M₁在第二象限．
（1）若P點坐標為（1，0），請你寫出：M的坐標是

（2，-1）

；
（2）若點P的坐標為（m，0），求直線M₁M的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）設正方形PQMN的邊長為s，由P點坐標為（1，0），可得點M的坐標為：（1+s，-s），又由點M落在反比例函數y=-

2

x

的圖象上，即可求得點M的值；
（2）首先設正方形PQMN邊長為s，正方形PQ₁M₁N₁邊長為n，由P點坐標為（m，0），即可得M（m+s，-s），M₁（m-n，n），然后利用待定系數法，即可求得直線M₁M的函數關系式．

解答：解：（1）設正方形PQMN的邊長為s，
∵P點坐標為（1，0），
∴點M的坐標為：（1+s，-s），
∵點M落在反比例函數y=-

2

x

的圖象上，
∴-s=-

2

1+s

，
解得：s=1或s=-2（舍去），
∴M的坐標是（2，-1）．
故答案為：（2，-1）；

（2）設正方形PQMN邊長為s，正方形PQ₁M₁N₁邊長為n，
∵P點坐標為（m，0），
∴M（m+s，-s），M₁（m-n，n）
設M₁M表達式為y=kx+b，則有：

-s=(m+s)k+b n=(m-n)k+b

，
解得：

k=-1 b=m

，
∴M₁M表達式為：y=-x+m．

點評：本題是動點所形成的幾何圖形在直角坐標系中與反比例函數的應用，是一道函數與幾何的綜合題，由幾何圖形中的數量關系建立函數和推理探究等多個知識點，實際上是數形結合思想的運用，融代數與幾何為一體，把代數問題與幾何問題進行相互轉化．