Question

設(shè)函數(shù)y=kx²+（2k+1）x+2（k為任意實(shí)數(shù)）
（1）求證：不論k為何值，該函數(shù)圖象都過(guò)點(diǎn)（0，2）和（-2，0）；
（2）若該函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求k的值．

Answer 1

分析：（1）將（0，2）和（-2，0）分別代入函數(shù)解析式，若等式成立，則不論k為何值，該函數(shù)圖象都過(guò)點(diǎn)（0，2）和（-2，0）；
（2）分兩種情況討論，①k=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，此時(shí)函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
②k≠0時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，若圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則判別式=0．

解答：解：（1）把x=0代入y=kx²+（2k+1）x+2，得y=2；  
把x=-2代入y=kx²+（2k+1）x+2，得y=0；
不同解法只要正確均給分．

（2）①當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)y=x+2，顯然與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；
②當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，要使與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則（2k+1）²-4k×2=4k²-4k+1=（2k-1）²=0；
∴此時(shí)k=\frac{1}{2}；
綜上所述，當(dāng)k=0或\frac{1}{2}時(shí)，函數(shù)y=kx²+（2k+1）x+2與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)與判別式的關(guān)系及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答時(shí)要注意分類(lèi)討論．