Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點D（m，m﹣2）在第三象限的拋物線上，求點D關于直線AB對稱的點E的坐標；

（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=﹣x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，求出相應點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣4；（2）E點坐標為（0，﹣2）；（3）綜上所述，Q點的坐標為（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）．

【解析】

試題分析：（1）設交點式y=a（x+4）（x﹣2），然后把B點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；

（2）先判斷△AOB為等腰直角三角形得到∠ABO=45°，再把把D（m，m﹣2）代入y=x2+x﹣4求出m得到D（﹣2，﹣4），則利用D嗲和B點坐標可判斷BD∥x軸，BD=2，如圖1，根據對稱的性質BE=BD=2，BF垂直平分DE，再判斷點E在y軸上，于是利用OE=OB﹣BE=2可得到E點坐標；

（3）如圖2，根據平行四邊形的判定方法當PQ=OB=4，PQ∥OB時，點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，設Q（t，﹣t），則P（t， t2+t﹣4），分類討論：當OQ為邊時，四邊形OQPB為平行四邊形，則﹣t﹣（t， t2+t﹣4）=4，當OQ為對角線時，四邊形OBQP為平行四邊形，則t2+t﹣4﹣t=4，然后分別解方程求出t即可得到滿足條件的Q點坐標．

試題解析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+4）（x﹣2），

把B（0，﹣4）代入得a4（﹣2）=﹣4，解得a=，

所以拋物線解析式為y=（x+4）（x﹣2），即y=x2+x﹣4；

（2）∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB，∴△AOB為等腰直角三角形，

∴∠ABO=45°，把D（m，m﹣2）代入y=x2+x﹣4得m2+m﹣4=m﹣2，解得m1=2，m2=﹣2，

∴D（﹣2，﹣4），而B（0，﹣4），∴BD∥x軸，BD=2，

∵點D和點E關于直線AB對稱（DE交AB于F），如圖1，

∴BE=BD=2，BF垂直平分DE，∴∠DBF=∠EBF=45°，∴∠DBE=90°，

∴點E在y軸上，而OE=OB﹣BE=2，

∴E點坐標為（0，﹣2）；

（3）判斷有2個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形．如圖2，

當PQ=OB=4，PQ∥OB時，點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，

設Q（t，﹣t），則P（t， t2+t﹣4），

當OQ為邊時，四邊形OQPB為平行四邊形，則﹣t﹣（t， t2+t﹣4）=4，解得t1=0（舍去），t2=﹣4，此時Q點坐標為（﹣4，4）；

當OQ為對角線時，四邊形OBQP為平行四邊形，則t2+t﹣4﹣t=4，解得t1=﹣2+2，t2=﹣2﹣2（舍去），此時Q點坐標為（﹣2+2，2﹣2），

綜上所述，Q點的坐標為（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）．