Question

【題目】正方形ABCD中，點P為直線BC上的一點，DP的垂直平分線交射線DC于M，交DP于E，交射線AB于N.

（1）當點M在CD邊上時如圖①，易證PM-CP=AN；

（2）當點M在CD邊延長線上如圖②、圖③的位置時，上述結論是否成立？寫出你的猜想，并對圖②給予證明.

圖① 圖② 圖③

Answer 1

【答案】圖②：PM+CP=AN；圖③：PM-CP=AN，證明見解析.

【解析】（1）過N作NQ∥AD，則NQ=AD，AN=DQ，易證∠MNQ=∠PDC，即可證明△MNQ≌△PDC，可得QM=PC，再根據垂直平分線性質可得DM=PM，即可解題；
（2）①作MQ∥BF，則AQ=DM，QM=AD=CD，易證∠NMQ=∠MDE，即可證明△NMQ≌△PDC，可得QN=PC，再根據垂直平分線性質可得PM=AQ，即可解題；
③作NQ∥BC，則NQ=AD=CD，AN=DQ，易證∠NMD=∠CPD，即可證明△CDP≌△EDM，可得QM=CP，再根據垂直平分線性質可得DM=PM，即可解題．

證明：（1）過N作NQ∥AD，則NQ=AD，AN=DQ，

∵MN是PD垂直平分線，
∴DM=PM，
∵∠NMQ+∠MNQ=90°，∠NMQ+∠PDC=90°，
∴∠MNQ=∠PDC，
∵在△MNQ和△PDC中，

∠MQN=∠PCD=90°，NQ=CD，∠MNQ=∠PDC

∴△MNQ≌△PDC，（ASA）
∴QM=PC，
∵DM=DQ+QM，
∴PM=AN+PC，即PM-CP=AN；
（2）①M在圖②位置時，不成立，新結論為AN=PM+CP；
理由：作MQ∥BF，則AQ=DM，QM=AD=CD，∠QMD=90°，

∵EF是PD垂直平分線，∴DM=PM，
∴PM=AQ，
∵∠NMQ+∠DME=90°，∠DME+∠MDE=90°，
∴∠NMQ=∠MDE，
∵在△NMQ和△PDC中，

∠NMQ=∠MDE，QM=CD，∠MQN=∠DCP=90°

∴△NMQ≌△PDC，（ASA）
∴QN=PC，
∵AN=AQ+QN，
∴AN=PM+CP；
②M在圖③位置時，成立，
理由：作NQ∥BC，則NQ=AD=CD，AN=DQ，

∵EM是PD的垂直平分線，
∴DM=PM，
∵∠NMD+∠MDE=90°，∠CPD+∠MDE=90°，
∴∠NMD=∠CPD，
∵在△CDP和△EDM中，

∠NMD=∠CPD，∠MQN=∠PCD，CD=NQ

∴△CDP≌△EDM，（AAS）
∴QM=CP，
∵DM=QM+DQ，
∴PM=AN+CP，即PM-CP=AN．