Question

如圖，正方形ABCO的邊長為

5

，以O為原點建立平面直角坐標系，點A在x軸的負半軸上，點C在y軸的正半軸上，把正方形ABCO繞點O順時針旋轉α后得到正方形A₁B₁C₁O（α＜45°），B₁C₁交y軸于點D，且D為B₁C₁的中點，拋物線y=ax²+bx+c過點A₁、B₁、C₁．
（1）填空：tanα=

1

2

；拋物線的函數表達式是

y=-

5

6

x²-

1

2

x+

10

3

；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PB₁C₁為直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若正方形A₁B₁C₁O以每秒2

5

個單位長度的速度沿射線A₁O下滑，直至頂點B₁落在x軸上時停止．設正方形落在x軸上方部分的面積為S，求S關于滑行時間t的函數關系式，并寫出相應自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①在Rt△ODC₁中，由旋轉的性質知，∠DOC₁=α，而DC₁是正方形邊長的一半，可據此求出∠α的正切值；
②在求拋物線的解析式中，必須先求出A₁、B₁、C₁三點的坐標，可過這三點分別作坐標軸的垂線（具體向哪條坐標軸作垂線，可視情況而定），通過構建的直角三角形以及∠α的正切值，可求出這三點的坐標，再利用待定系數法求函數解析式即可．
（2）首先要大致確定有幾個符合條件的點P：
①點B₁是直角頂點，那么點P必為直線A₁B₁與拋物線對稱軸的交點（有一個）；
②點C₁是直角頂點，那么點P必為直線OC₁與拋物線對稱軸的交點（有一個）；
③點P是直角頂點，那么點P必為以線段B₁C₁為直徑的圓與拋物線對稱軸的交點（有兩個），可過B₁、C₁作對稱軸的垂線，通過構建的相似三角形來求出點P的坐標．
（3）此題的思路并不復雜，但需要考慮的情況較多，大致分成三段考慮即可：
①x軸在O、A₁兩點之間、②x軸在A₁、C₁兩點之間、③x軸在B₁、C₁兩點之間．

解答：解：（1）①∵四邊形A₁B₁C₁O為正方形，
∴OC₁=B₁C₁，∠OC₁B₁=90度．
又∵D是B₁C₁的中點，
∴C1D=

1

2

B1C1=

1

2

OC1．
∵由旋轉性質可知，∠C₁OD=∠AOA₁=α，
∴在Rt△C₁OD中，tanα=

C1D

OC1

=

1

2

．
∴tanα的值是

1

2

．
②過點A₁作A₁E⊥x軸，垂足為點E．
在Rt△A₁EO中，tanα=

A1E

OE

，
∴

A1E

OE

=

1

2

．
設A₁E=k，則OE=2k，在Rt△A₁EO中，OA1=

5

，
根據勾股定理，得A₁E²+OE²=OA₁²．
即k2+(2k)2=(

5

)2，
解得k₁=-1（舍），k₂=1．
∴A₁E=1，OE=2．
又∵點A₁在第二象限，
∴點A₁的坐標為（-2，1）．
直接寫出點B₁的坐標為（-1，3），點C₁的坐標為（1，2）．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點A₁，B₁，C₁．
∴

4a-2b+c=1 a-b+c=3 a+b+c=2

解得

a=- 5 6 b=- 1 2 c= 10 3

∴拋物線的函數表達式為y=-

5

6

x2-

1

2

x+

10

3

．

（2）將（1）的拋物線解析式配方，得y=-

5

6

(x+

3

10

)2+

409

120

．
∴拋物線的對稱軸是直線x=-

3

10

．
假設存在符合條件的點P，分三種情況：
①以點B₁為直角頂點；
易求得，直線A₁B₁的解析式：y=2x+5，
當x=-

3

10

時，y=2×（-

3

10

）+5=

22

5

；
②以點C₁為直角頂點；
易求得，直線OC₁的解析式：y=2x，
當x=-

3

10

時，y=2×（-

3

10

）=-

3

5

；
③以點P為直角頂點；
分別過點B₁、C₁作拋物線對稱軸的垂線，垂足為G、H；（如右圖）
設點P（-

3

10

，y）：
當點P在直線B₁C₁上方時，
B₁G=1-

3

10

=

7

10

、PG=y-3、C₁H=1+

3

10

=

13

10

、PH=y-2
∵∠B₁PG=90°-∠C₁PH=∠PC₁H，∠B₁GP=∠PHC₁=90°
∴△B₁GP∽△PHC₁，則

7 10

y-2

=

y-3

13 10

解得：y=

25+2 29

10

、y=

25-2 29

10

（舍）；
當點P在直線B₁C₁下方時，同上，可求得y=

25-2 29

10

；
綜上，存在點P，使△PB₁C₁為直角三角形．
滿足條件的點P共有4個：P1(-

3

10

，

22

5

)，P2(-

3

10

，-

3

5

)，P3(-

3

10

，

25+2 29

10

)，P4(-

3

10

，

25-2 29

10

)．

（3）設運動后的正方形為O′A′B′C′，分三種情況：
①當點A′運動到x軸上時，t=

1

2

；
當0＜t≤

1

2

時，如圖①；
OO′=2

5

t，O′E=

1

2

OO′=

5

t
∴S=S_正方形-S_△OO′E=5-

1

2

×2

5

t×

5

t=-5t²+5；
②當點C′運動到x軸上時，t=1；
當

1

2

＜t＜1時，如圖②；
OO′=2

5

t，OA′=2

5

t-

5

，A′F=

1

2

OA′=

2 5 t- 5

2

，O′E=

1

2

OO′=

5

t
B′F=A′B′-A′F=

3 5 -2 5 t

2

，C′E=O′C′-O′E=

5

-

5

t；
∴S=

1

2

（B′F+C′E）×B′C′=

1

2

（

3 5 -2 5 t

2

+

5

-

5

t）×

5

=

25-20t

4

；
③當點B′運動到x軸上時，t=

3

2

；
當1≤t＜

3

2

時，如圖③；
同②可得：B′F=A′B′-A′F=

3 5 -2 5 t

2

，B′E=2B′F=3

5

-2

5

t；
∴S=

1

2

×

3 5 -2 5 t

2

×（3

5

-2

5

t）=5t²-15t+

45

4

；
綜上，S=

-5t2+5 (0＜t≤ 1 2 ) -5t+ 25 4  ( 1 2 ＜t＜1) 5t2-15t+ 45 4  (1≤t＜ 3 2 )

．

點評：此題涉及的內容相等復雜，難度很大，主要考查的知識點有：函數解析式的確定、正方形的性質、圖形的旋轉、解直角三角形的應用、相似三角形與直角三角形的判定和性質以及圖形面積的解法等等．后兩題涉及的情況較多，一定要注意分類討論．最后一題中，一定要注意t的不同取值范圍內，正方形的運動位置．