Question

在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸的兩個交點分別為A（-3，0）、B（1，0），過頂點C作CH⊥x軸于點H．
（1）直接填寫：a=

 

，b=

 

，頂點C的坐標為

 

；
（2）在y軸上是否存在點D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQ⊥AC于點Q，當△PCQ與△ACH相似時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）將A（-3，0）、B（1，0），代入y=ax²+bx+3求出即可，再利用平方法求出頂點坐標即可；
（2）首先證明△CED∽△DOA，得出y軸上存在點D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC為斜邊的直角三角形．
（3）首先求出直線CA的解析式為y=k₁x+b₁，再利用聯立兩函數解析式即可得出交點坐標，再利用若點P在對稱軸左側（如圖②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．

解答：解：（1）a=-1，b=-2，頂點C的坐標為（-1，4）；

（2）假設在y軸上存在滿足條件的點D，過點C作CE⊥y軸于點E．
由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，
∴△CED∽△DOA，∴

CE

ED

=

DO

AO

．
設D（0，c），則

1

4-c

=

c

3

．變形得c²-4c+3=0，解之得c₁=3，c₂=1．
綜合上述：在y軸上存在點D（0，3）或（0，1），
使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形．

（3）①若點P在對稱軸右側（如圖①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．
延長CP交x軸于M，∴AM=CM，∴AM²=CM²．
設M（m，0），則（m+3）²=4²+（m+1）²，∴m=2，即M（2，0）．
設直線CM的解析式為y=k₁x+b₁，
則

-k1+b1=4 2k1+b1=0

，解之得k1=-

4

3

，b1=

8

3

．
∴直線CM的解析式y=-

4

3

x+

8

3

．
聯立

y=- 4 3 x+ 8 3 y=-x2-2x+3

，解之得

x= 1 3 y= 20 9

或

x=-1 y=4

（舍去）．
∴P(

1

3

，

20

9

)．
②若點P在對稱軸左側（如圖②），只能是△PCQ∽△AHC，得∠PCQ=∠ACH．
過A作CA的垂線交PC于點F，作FN⊥x軸于點N．
由△CFA∽△CAH得

CA

AF

=

CH

AH

=2，
由△FNA∽△AHC得

FN

AH

=

NA

HC

=

AF

CA

=

1

2

．
∴AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，則AH=2，
∴點F坐標為（-5，1）．
設直線CF的解析式為y=k₂x+b₂，則

-k2+b2=4 -5k2+b2=1

，
解之得k2=

3

4

，b2=

19

4

．
∴直線CF的解析式y=

3

4

x+

19

4

．
聯立

y= 3 4 x+ 19 4 y=-x2-2x+3

，解之得

x=- 7 4 y= 55 16

或

x=-1 y=4

（舍去）．
∴P(-

7

4

，

55

16

)．
∴滿足條件的點P坐標為(

1

3

，

20

9

)或(-

7

4

，

55

16

)．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的應用，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型，特別注意利用數形結合是這部分考查的重點，也是難點，同學們應重點掌握．