Question

有這么一個數字游戲：
第一步：取一個自然數n₁=3，計算n₁³+1得a₁；
第二步：算出a₁的各位數字之和得n₂，計算n₂³+1得a₂；
第三步：算出a₂的各位數字之和得n₃，再計算n₃³+1得a₃；…．
依此類推，則a₁₀₀₀=________．

Answer 1

730
分析：先計算n₁=3，則a₁=n₁³+1=3³+1=28，所以n₂=2+8=10；n₂=10，則a₂=n₂³+1=10³+1=1001，所以n₃=1+0+0=1=2；n₃=2，則a₃=n₃³+1=2³+1=9，所以n₄=9；n₄=9，則a₄=n₄³+1=9³+1=730，所以n₅=7+3+0=0；n₅=0，則a₅=n₅³+1=0³+1=1，所以n₆=1；n₆=2，則a₆=n₆³+1=2³+1=9，所以n₃=9，則a₇=730，a₈=1，觀察a的值得到除去a₁與a₂，從a₃開始每三個一循環，由1000-2=332×3+2，則得到a₁₀₀₀=a₄．
解答：∵當n₁=3，則a₁=n₁³+1=3³+1=28，所以n₂=2+8=10，
當n₂=10，則a₂=n₂³+1=10³+1=1001，所以n₃=1+0+0=1=2，
當n₃=2，則a₃=n₃³+1=2³+1=9，所以n₄=9，
當n₄=9，則a₄=n₄³+1=9³+1=730，所以n₅=7+3+0=0，
當n₅=0，則a₅=n₅³+1=0³+1=1，所以n₆=1，
當n₆=2，則a₆=n₆³+1=2³+1=9，所以n₃=9，
∴a₇=730，
a₈=1，
∵1000-2=332×3+2，
∴a₁₀₀₀=a₄=730．
故答案為：730．
點評：本題考查了規律型：數字的變化類：通過從一些特殊的數字變化中發現不變的因素或按規律變化的因素，然后推廣到一般情況．