Question

如圖是用一塊邊長為60cm 的正方形薄鋼片制作的一個長方體盒子。

（1）如果要做成一個沒有蓋的長方體盒子，可先在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形（如圖甲），然后把四邊折合起來（如圖乙）。
  ①求做成的盒子底面積y（cm²）與截去小正方形邊長x（cm）之間的函數關系式；  
②當做成的盒子的底面積為900cm²時，試求該盒子的容積。
（2）如果要做成一個有蓋的長方體盒子，其制 作方案要求同時符合下列兩個條件：  
①必須在薄鋼片的四個角上各截去一個四邊形；（其余部分不能裁截）  
②折合后薄鋼片既無空隙、又不重疊地圍成各盒面，請你畫出符合上述制作方案的一種草案  （不必說明畫法與根據），并求當底面積為800cm²時，該盒子的高。

Answer 1

（1 ）①所求的函數關系為y= （60-2x）²； 
②當y=900 時，（60-2x）²=900，
解得x₁=15，x₂=45 ，
∵0<x<30
∴x₂=45不合題意舍去，
∴x=15，
∴容積V=900×15=13500（cm³）。
（2）符合制作方案的一種草圖如圖（1 ）所示（圖中陰影部分為底與蓋，且S_I=SI_I）：在鋼片的四個角上分別截去兩個相同的小正方形與兩個相同的小長方形，然后沿虛線折合起來即可，設截去的小正方形的邊長、小長方形的一邊長xcm ，
依題意得：，（30-x）²=400，
解得x₁=10，x₂=50
∵0<x<30
∴x₂=50不合題意舍去，
∴x=10，即做成的有蓋盒子的高為10cm。