Question

【題目】定義：點P在一次函數圖象上，點Q在反比例函數圖象上，若存在點P與點Q關于原點對稱，我們稱二次函數為一次函數與反比例函數的“新時代函數”，點P稱為“幸福點”。

（1）判斷與是否存在“新時代函數”，如果存在，請求出“幸福點”坐標，如果不存在，請說明理由；

（2）若反比例函數與一次函數有兩個“幸福點”，和，且，求其“新時代函數”的解析式；

（3）若一次函數和反比例函數在自變量x的值滿足的情況下，其“新時代函數”的最小值為3，求m的值。

Answer 1

【答案】（1）存在“新時代函數”，幸福點坐標為，；（2）或；（3）或 .

【解析】

（1）聯立與得到關于x的一元二次方程，解方程可得，，根據 “新時代函數”定義，可得幸福點坐標為，；

（2）聯立與得到關于x的一元二次方程，分解因式法解得，，代入中，可得，即可求得“新時代函數”解析式；

（3）一次函數和反比例函數的“新時代函數”為，其對稱軸為，分，，和三種情況討論即可.

雙曲線是關于原點對稱的，所以直線與雙曲線的交點就是“幸福點”

（1）聯立與得：，

解得：，，

存在“新時代函數”，幸福點坐標為，；

（2）聯立與得：

，

，，

，

，

∴“新時代函數”的解析式：或；

（3）一次函數和反比例函數的“新時代函數”為，此二次函數圖象開口向上，對稱軸：，

當時，最小值為，

①若，即，當，

解得：，；

②若，即，

當，

解得：；

③若，即，當時，，

解得： ， （舍），

綜上所述，或.