Question

【題目】某八年級數學興趣小組對“三角形內角或外角平分線的夾角與第三個內角的數量關系”進行了探究.

（1）如圖1，△ABC的兩內角∠ABC與∠ACB的平分線交于點E，求證：∠BEC=90°+∠A；

（2）如圖2，△ABC的內角∠ABC的平分線與△ABC的外角∠ACM的平分線交于點E，請寫出∠E與∠A的數量關系，并證明.

（3）如圖3，△ABC的兩外角∠DBC與∠BCF的平分線交于點E，請你直接寫出∠E與∠A的數量關系，不需證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠A=2∠E，證明見解析；（3）∠E=90°-∠A．

【解析】

（1）先根據角平分線的性質得出∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，再由三角形內角和定理得出∠BEC+∠EBC+∠ECB=180°，利用等量代換即可得出結論；

（2）先根據角平分線的性質得出∠EBC=∠ABC，∠ECM=∠ACM，再由三角形外角的性質即可得出結論；

（3）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解．

（1）∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB，

∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠BEC+∠EBC+∠ECB=180°，

∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）

=180°-（ ∠ABC+∠ACB）=180°-（∠ABC+∠ACB）

=180°-（180°-∠A）

=180°-90°+∠A

=90°+∠A．

（2）∵BE是∠ABC的平分線，CE是∠ACM的平分線，

∴∠EBC=∠ABC，∠ECM=∠ACM．

∵∠ACM是△ABC的外角，∠ECM是△BCE的外角，

∴∠ACM=∠A+∠ABC，∠ECM=∠BEC+∠EBC，

∴∠ECM=∠ACM=（∠A+∠ABC）=∠BEC+∠EBC，即∠A+∠EBC=∠BEC+∠EBC，

∴∠A=2∠B∠A=2∠C，即∠A=2∠E；

（3）結論∠E=90°-∠A．

∵∠CBD與∠BCF是△ABC的外角，

∴∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，

∵BE，CE分別是∠ABC與∠ACB的平分線，

∴∠EBC=（∠A+∠ACB），∠ECB=（∠A+∠ABC）．

∵∠EBC+∠ECB+∠E=180°，

∴∠E=180°-∠EBC-∠ECB，

=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC），

=180°-∠A-（∠A+∠ABC+∠ACB），

=180°-∠A-90°

=90°-∠A．