Question

（2011山東濟南，28，9分）如圖，點C為線段AB上任意一點（不與A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD與∠BCE都是銳角且∠ACD=∠BCE，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD交于點P，連接PC．

（1）求證：△ACE≌△DCB；

（2）請你判斷△AMC與△DMP的形狀有何關系并說明理由；

（3）求證：∠APC=∠BPC．

 

Answer 1

（1）證明：∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

∴∠ACE=∠DCB，

又∵CA=CD，CE=CB，

∴△ACE≌△DCB．

（2）△AMC∽△DMP．

理由：∵△ACE≌△DCB，

∴∠CAE=∠CDB，

又∵∠AMC=∠DMP，

∴△AMC∽△DMP．

（3）∵△AMC∽△DMP，

∴MA：MD=MC：MP．

又∵∠DMA=∠PMC，

∴△AMD∽△CMP，

∴∠ADC=∠APC．

同理∠BEC=∠BPC．

∵CA=CD，CB=CE，

∴∠ADC=（180°﹣∠ACD），

∠BEC=（180°﹣∠BCE）．

∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ADC=∠BEC，

∴∠APC=∠BPC．

解析:略