Question

已知關于x 的一元二次方程（m+2）x²-2x-1=0．
（1）若此一元二次方程有實數根，求m的取值范圍；
（2）若關于x的二次函數y₁=（m+2）x²-2x-1和y₂=（m+2）x²+mx+m+1的圖象都經過x軸上的點（n，0），求m的值；
（3）在（2）的條件下，將二次函數y₁=（m+2）x²-2x-1的圖象先沿x軸翻折，再向下平移3個單位，得到一個新的二次函數y₃的圖象．請你直接寫出二次函數y₃的解析式，并結合函數的圖象回答：當x取何值時，這個新的二次函數y₃的值大于二次函數y₂的值．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據一元二次方程的定義和根的判別式列出式子，即可求出m的取值范圍．
（2）本題需把點（n，0）代入y₁=（m+2）x²-2x-1和y₂=（m+2）x²+mx+m+1中，即可求出結果．
（3）本題須根據二次函數的圖象的移動規律，求出y₃的解析式，再結合函數的圖象即可求出答案．

解答：解：（1）根據題意，得

m+2≠0 △=(-2)2-4(m+2)×(-1)≥0

解得

m≠-2 m≥-3

∴m的取值范圍是m≥-3且m≠-2．

（2）∵關于x的二次函數y₁=（m+2）x²-2x-1和y₂=（m+2）x²+mx+m+1的圖象都經過x軸上的點（n，0），
∴（m+2）n²-2n-1=（m+2）n²+mn+m+1．
可得-2n-1=mn+m+1，
∴-2n-mn=m+2，
∴-n（2+m）=2+m，
解得n=-1，
∴y₁=（m+2）x²-2x-1，
0=（m+2）+2-1，
m=-3，


（3）∵y₁=-x²-2x-1，y₂=-x²-3x-2，
又∵將二次函數y₁=（m+2）x²-2x-1的圖象先沿x軸翻折，再向下平移3個單位，
∴y₃=x²+2x-2，
∴y₂與y₃的交點為（0，-2），（-

5

2

，-

3

4

），
當x的取值范圍是x＞0或x＜-

5

2

時，二次函數y₃的值大于二次函數y₂的值．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合應用，在解題時要注意二次函數的定義、性質和解析式求法．