Question

【題目】已知平行四邊形ABCD的對角線交于點O，點P是直線BD上任意一點（異于B、O、D三點），過P點作平行于AC的直線交直線AD于點E，交直線BA于點F，當點P在線段BD上時，易證得：AC=PE+PF（如圖①所示）．當點P在線段BD的延長線上（如圖②所示）和當點P在線段DB的延長線上（如圖③所示）兩種情況時，探究線段AC、PE、PF之間的數量關系，并對圖③的結論進行證明．

Answer 1

【答案】解：當P在BD的延長線上時，如圖②，延長FE交BC的延長線于點G，

∵AC∥FG，
∴，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=CO，
∴PF=PG，
∴EG=PG﹣PE=PF﹣PE，
又∵AB∥CG，AC∥EG，
∴四邊形ACGE為平行四邊形，
∴AC=EG，
∴AC=PF﹣PE；
當P在DB的延長線上時，如圖③，延長CB交EF于點G，

∵AC∥EF，
∴，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=CO，
∴PG=PF，
∴EG=PE﹣PG=PE﹣PF，
又∵AC∥EG，AE∥CG，
∴四邊形AEGC為平行四邊形，
∴EG=AC，
∴AC=PE﹣PF．
【解析】在②中延長FE交BC的延長線于點G，可證得PF=PG，再證明四邊形ACGE為平行四邊形可得AC=EG，可得到AC=PF﹣PE；在③中延長CB交EF于點G，可證得PG=PF，可得到AC=PE﹣PF．
【考點精析】關于本題考查的平行四邊形的性質，需要了解平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能得出正確答案．