Question

49、如圖所示，在△ABC中，AB=AC，P為BC的中點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，EM⊥AC于M，FN⊥AB于N，EM與FN相交于點Q，那么四邊形PEQF是菱形嗎？說明你的理由．

Answer 1

分析：根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．要證四邊形PEQF是菱形，先證四邊形PEQF是平行四邊形，再證PE=PF即可．

解答：解：四邊形PEQF是菱形．理由如下：
∵PE⊥AB，FN⊥AB，
∴PE∥FN．
同理，PF∥EM．
∴四邊形PEQF是平行四邊形．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
又∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠BEP=∠CFP=90°．
又∵BP=CP，
∴△BEP≌△CFP（AAS）．
∴PE=PF．
∴四邊形PEQF是菱形．

點評：本題利用了：
1、平行四邊形的判定和性質；
2、全等三角形的判定和性質；
3、菱形的判定．