Question

某公司生產的一種時令商品每件成本為20元，經過市場調研發現，這種商品在未來20天內的日銷售量m（件）與時間t（天）的關系如下表：

時間t（天）	1	3	6	10	36	…
日銷售量m（件）	94	90	84	76	24	…

未來20天內每天的價格y（元/件）與時間t（天）的函數關系式為（1≤t≤20且t為整數）．下面我們就來研究銷售這種商品的有關問題：
（1）認真分析上表中的數據，用所學過的一次函數、二次函數、反比例函數的知識確定一個滿足這些數據的m（件）與t（天）之間的關系式；
（2）設未來20天日銷售利潤為p （元），請寫出p （元） 與t（天）之間的關系式；并預測未來20天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？
（3）若該公司預計日銷售利潤不低于560元，請借助（2）小題中的函數圖象確定時間的取值范圍，持續了多少天？
（4）在實際銷售的20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈a元利潤（a＜5）給希望工程．公司通過銷售記錄發現，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t（天）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）將和代入一次函數m=kt+b中，
有．
∴
∴m=-2t+96
經檢驗，其它點的坐標均適合以上解析式．
故所求函數解析式為m=-2t+96
（2）設未來20天的日銷售利潤為p元．
由
∵1≤t≤20，
∴當t=14時，p有最大值578（元）
∴最大日銷售利潤是578元；
（3）令p=560，
解得：t₁=8，t₂=20；
∴持續的天數是：20-8=12；
（4）
對稱軸為．
∵1≤t≤20，a=-＜0，
∴t的取值范圍在對稱軸的左側時p隨t的增大而增大，
∴當14+2a≥20即a≥3時，p隨t的增大而增大．
又∵a＜5，
∴3≤a＜5
分析：（1）本題需先根據表中所給的數據，代入一次函數m=kt+b中，得出k與b的值，即可求出函數得解析式．
（2）本題需先設未來20天的日銷售利潤為p元，根據題意列出式子，得出當t等于多少的時候，p有最大值，即可求出最大日銷售利潤．
（3）本題需先根據（2）中的函數圖象確定時間的取值范圍，即可求出t₁和t₂的值，即可求出持續的天數．
（4）本題需先p的式子，找出t的對稱軸，再根據t的取值范圍，即可求出a的取值范圍．
點評：本題主要考查了二次函數，在解題時要注意二次函數的知識的綜合應用和解題方法是本題的關鍵，是一道常考題．