Question

在平面直角坐標系XOY中，直線l₁過點A（1，0）且與y軸平行，直線l₂過點B（0，2）且與x軸平行，直線l₁與直線l₂相交于點P．點E為直線l₂上一點，反比例函數（k＞0）的圖象過點E與直線l₁相交于點F．
（1）若點E與點P重合，求k的值；
（2）連接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面積為△PEF的面積的2倍，求E點的坐標；
（3）是否存在點E及y軸上的點M，使得以點M、E、F為頂點的三角形與△PEF全等？若存在，求E點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據反比例函數中k=xy進行解答即可；
（2）當k＞2時，點E、F分別在P點的右側和上方，過E作x軸的垂線EC，垂足為C，過F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD相交于點G，則四邊形OCGD為矩形，再求出S_△FPE=k²-k+1，根據S_△OEF=S_矩形OCGD-S_△DOF-S_△EGF-S_△OCE即可求出k的值，進而求出E點坐標；
（3）①當k＜2時，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y軸于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，求出k的值，進而可得出E點坐標；
②當k＞2時，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y軸于Q，△FQM∽△MBE得，=，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，求出k的值，進而可得出E點坐標．
解答：解：（1）若點E與點P重合，則k=1×2=2；

（2）當k＞2時，如圖1，
點E、F分別在P點的右側和上方，過E作x軸的垂線EC，垂足為C，過F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD相交于點G，則四邊形OCGD為矩形，
∵PF⊥PE，
∴S_△FPE=PE•PF=（-1）（k-2）=k²-k+1，
∴四邊形PFGE是矩形，
∴S_△PFE=S_△GEF，
∴S_△OEF=S_矩形OCGD-S_△DOF-S_△EGF-S_△OCE=•k--（k²-k+1）-=k²-1
∵S_△OEF=2S_△PEF，
∴k²-1=2（k²-k+1），
解得k=6或k=2，
∵k=2時，E、F重合，
∴k=6，
∴E點坐標為：（3，2）；

（3）存在點E及y軸上的點M，使得△MEF≌△PEF，
①當k＜2時，如圖2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y軸于H，
∵△FHM∽△MBE，
∴=，
∵FH=1，EM=PE=1-，FM=PF=2-k，
∴=，BM=，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，
∴（1-）²=（）²+（）²，
解得k=，此時E點坐標為（，2），

②當k＞2時，如圖3，
只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y軸于Q，△FQM∽△MBE得，=，
∵FQ=1，EM=PF=k-2，FM=PE=-1，
∴=，BM=2，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，
∴（k-2）²=（）²+2²，解得k=或0，但k=0不符合題意，
∴k=．
此時E點坐標為（，2），
∴符合條件的E點坐標為（，2）（，2）．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，涉及到反比例函數的性質、全等三角形的判定與性質及勾股定理，解答此題的關鍵是根據題意作出輔助線，構造出相似三角形，利用相似三角形的性質解答．