Question

已知△ABC中，∠C是其最小的內角，過頂點B的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，請探求∠ABC與∠C之間的關系為________．

Answer 1

∠ABC=135°-∠C或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=3∠C，∠C是小于45°的任意角
分析：設過B的直線交AC于D．因為沒有指明是哪兩個邊相等，故應該分情況進行分析，從而求解．
解答：解：設∠ABC=y，∠C=x，過點B的直線交邊AC于D．在△DBC中，
①若∠C是頂角，如圖1，則∠ADB＞90°，
∠CBD=∠CDB=90°-，∠A=180°-x-y．
此時只能有∠A=∠ABD，即180°-x-y=y-[90°-x]
3x+4y=540°，即∠ABC=135°-∠C；
②若∠C是底角，則有兩種情況．
第一種情況：如圖2，當DB=DC時，則∠DBC=x，
△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x．
（i）由AB=AD，得2x=y-x，此時有y=3x，即∠ABC=3∠C．
（ii）由AB=BD，得180°-x-y=2x，此時3x+y=180°，即∠ABC=180°-3∠C．
（iii）由AD=BD，得180°-x-y=y-x，此時y=90°，即∠ABC=90°，∠C為小于45°的任意銳角．
（iiii）當BD=BC時，但這種情況與∠C是最小角不符，不成立．
故答案為：∠ABC=135°-∠C或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=3∠C，∠C是小于45°的任意
角．
點評：此題主要考查等腰三角形的性質，三角形外角的性質及三角形內角和定理的綜合運用．