Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx-3交x軸于點A（﹣3，0），點B（1，0），交y軸于點E．點C是點A關于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線過點F且與y軸平行．直線y=kx+3過點C，交y軸于D點．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H，與拋物線交于點G，求線段HG長度的最大值；

（3）在直線上取點M，在拋物線上取點N，使以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3； （2）線段HG的長度有最大值； （3）當N的坐標為（﹣5，12），（11，140），（﹣1，﹣4）時，以點A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形．

【解析】試題分析：（1）把點的坐標代入函數表達式，即可求出的值；
（2）根據C點的坐標求出直線CD的解析式，然后結合圖形設出K點的坐標表達出H點和G點的坐標，列出HG關于t的表達式，根據二次函數的性質求出最大值；
（3）需要討論解決，①若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的邊，當點N在點M的左側時，MN=3-n；當點N在點M的右側時，MN=n-3，然后根據已知條件在求n的坐標就容易了
②若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的對角線時，由“點C與點A關于點B中心對稱”知：點M與點N關于點B中心對稱，取點F關于點B的對稱點P，則P點坐標為過P點作軸，交拋物線于點N，結合已知條件再求n的坐標就容易了．

試題解析：(1)設拋物線的函數表達式為y=a(x1)(x+3).

∵拋物線交y軸于點E(0,3)，將該點坐標代入上式，得a=1,

∴所求函數表達式為y=(x1)(x+3)，

即

(2)∵點C是點A關于點B的對稱點,點A坐標(3,0),點B坐標(1,0)，

∴點C坐標(5,0)，

∴將點C坐標代入得

∴直線CD的函數表達式為

設K點的坐標為(t,0),則H點的坐標為G點的坐標為

∵點K為線段AB上一動點，

∴當時,線段HG的長度有最大值

(3)∵點F是線段BC的中點,點B(1,0),點C(5,0)，

∴點F的坐標為(3,0)，

∵直線l過點F且與y軸平行，

∴直線l的函數表達式為x=3，

∵點M在直線l上，點N在拋物線上，

∴設點M的坐標為(3,m),點N的坐標為

∵點A(3,0),點C(5,0)，

∴AC=8，

分情況討論：

①若線段AC是以點A.C,M、N為頂點的平行四邊形的邊,則需MNAC，且MN=AC=8.

當點N在點M的左側時，MN=3n，

∴3n=8，解得n=5，

∴N點的坐標為(5,12)，

當點N在點M的右側時，MN=n3，

∴n3=8，

解得n=11，

∴N點的坐標為(11,140)，

②若線段AC是以點A.C,M、N為頂點的平行四邊形的對角線,由“點C與點A關于點B中心對稱”知：點M與點N關于點B中心對稱,取點F關于點B的對稱點P,則P點坐標為(1,0)

過P點作NP⊥x軸，交拋物線于點N，

將x=1代入，得y=4，

過點N作直線NM交直線l于點M，

在△BPN和△BFM中，

∠NBP=∠MBF，

BF=BP，

∴△BPN≌△BFM，

∴NB=MB，

∴四邊形ANCM為平行四邊形，

∴坐標(1,4)的點N符合條件，

∴當N的坐標為(5,12),(11,140),(1,4)時，以點A. C.M、N為頂點的四邊形為平行四邊形.