Question

如圖，第一象限內的點A在反比例函數的圖象上，且OA=，OA與x軸正方向的夾角為α，tanα=，
（1）求k的值，并求當y≤1時自變量x的取值范圍；
（2）點B（m，-2）也在反比例函數的圖象上，連接AB，與x軸交于點C，若AC與x軸正方向的夾角為β，求sinβ的值；
（3）點P在x軸上，且使得△OBP為直角三角形，則P點的坐標為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）過A作AE⊥x軸于E，由tan∠AOE=，得到OE=3AE，根據勾股定理即可求出AE和OE的長，即得到A的坐標，代入雙曲線即可求出k的值，得到解析式；
（2）把B的坐標代入反比例函數的解析式即可求出B的坐標，把A和B的坐標代入一次函數的解析式即可求出a、b的值，即得到答案．
（3）當BP⊥x軸，以及BP⊥y軸，分別求出即可．
解答：解：（1）過A作AE⊥x軸于E，
tan∠AOE=，
∴OE=3AE
∵OA=，由勾股定理得：OE²+AE²=10，
解得：AE=1，OE=3，
∴A的坐標為（3，1），
A點在雙曲線上，
∴1=，
∴k=3，
當y≤1時，x≥3或x＜0；

（2）B（m，-2）在雙曲y=上，
∴-2=，
解得：m=-，
∴B的坐標是（-，-2），
代入一次函數的解析式得：，
解得：，
∴一次函數的解析式為：y=x-1．
sinβ=；

（3）P（-，0）或P（-，0）．
點評：此題主要考查了銳角三角函數的定義，用待定系數法求反比例函數的解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征，用待定系數法求正比例函數的解析式，正比例函數圖象上點的坐標特征，勾股定理等知識點，綜合運用這些知識進行計算是解此題的關鍵，題型較好，綜合性比較強．