Question

如圖，菱形OABC在平面直角坐標系中，點C的坐標為（3，4），點A在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點D．動點P從A出發，以每秒2個單位的速度沿折線A-B-C向點C勻速運動，同時點Q從點D出發，以每秒

5

個單位的速度沿DA向點A勻速運動；設點P、Q運動時間為t（秒）
（1）求點A的坐標；
（2）求△PCQ的面積S（S≠0）與運動時間t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）過點P作PH⊥AD于H，試求點P在運動的過程中t為何值時，tan∠PQH=

1

4

？

Answer 1

分析：（1）由點C的坐標為（3，4），利用勾股定理得到OC的長，利用菱形的性質得到OA的長，即可確定點A的坐標；
（2）先利用待定系數法確定直線AC的解析式，得到DO=10，利用勾股定理得到DC、DA的長．然后分類討論：①當點P在線段AB上，Q在線段CD上；②當點P在線段BC上，Q在線段CD上；③當點P在線段BC上，Q在線段CA上；過點P作PH⊥AD于H，利用三角形相似比表示出PH，在根據三角形的面積公式分別表示出S；
（3）分類討論：當0＜t≤2.5；當2.5＜t＜3；當3＜t＜5，由（2）知道PH，然后分別表示出對應的QH，再根據正切的定義得到PH：QH=

1

4

，解關于t的方程，得到滿足條件的t的值即可．

解答：解：（1）∵點C的坐標為（3，4），
∴OC=

32+42

=5，
又∵四邊形OABC為菱形，
∴OA=OC=5，
∴點A的坐標為（5，0）；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（5，0）和點C（3，4）分別代入得，5k+b=0，3k+b=4，解得k=-2，b=10，
∴OD=10，
∴AD=

102+52

=5

5

，
延長BC交OD于M，則CM=3，OM=4，
∴DM=10-4=6，
DC=

62+32

=3

5

；
①當點P在線段AB上，Q在線段CD上，
PA=2t，DQ=

5

t，CQ=3

5

-

5

t，
過點P作PH⊥AD于H，如圖，
∵四邊形OABC為菱形，
∴∠PAH=∠OAD，
∴Rt△PHA∽Rt△DOA，
∴PH：OD=AH：OA=PA：AD，即PH：10=AH：5=2t：5

5

，
∴PH=

4 5

5

t，AH=

2 5

5

t，
∴S=

1

2

QC•PH=

1

2

•（3

5

-

5

t）•

4 5

5

t=-2t2+6t（0＜t≤2.5）
②當點P在線段BC上，Q在線段CD上，
PC=10-2t，
過點P作PH⊥AD于H，如圖，
易證Rt△PCH∽Rt△DAO，
∴PH：OD=CH：OA=PC：AD，即PH：10=CH：5=（10-2t）：5

5

，
∴PH=4

5

-

4 5

5

t，CH=2

5

-

2 5

5

t，
∴S=

1

2

PH•CQ=

1

2

•（4

5

-

4 5

5

t）•（3

5

-

5

t）=2t²-16t+30（2.5＜t＜3）；
③當點P在線段BC上，Q在線段CA上，
過點P作PH⊥AD于H，如圖，
由②知PH=4

5

-

4 5

5

t，
∴S=

1

2

PH•CQ=

1

2

•（4

5

-

4 5

5

t）•（

5

t-3

5

）=-2t²+16t-30（3＜t＜5）；

（3）當0＜t≤2.5，
∵PH=

4 5

5

t，AH=

2 5

5

t，
∴QH=5

5

-

5

t-

2 5

5

t=5

5

-

7 5

5

t，
∵tan∠PQH=

1

4

，
∴PH：QH=

4 5 t 5

5 5 - 7 5 t 5

=

1

4

，解得t=

25

23

；
當2.5＜t＜3，
∵PH=4

5

-

4 5

5

t，CH=2

5

-

2 5

5

t，
∴QH=3

5

-

5

t+2

5

-

2 5

5

t=5

5

-

7 5

5

t，
∵tan∠PQH=

1

4

，
∴PH：QH=（4

5

-

4 5

5

t）：（5

5

-

7 5

5

t）=

1

4

，解得t=

55

9

（舍去）；
當3＜t＜5，
∵PH=4

5

-

4 5

5

t，CH=2

5

-

2 5

5

t，
∴QH=

5

t-3

5

-（2

5

-

2 5

5

t）=

7 5

5

t-5

5

，
∵tan∠PQH=

1

4

，
∴PH：QH=（4

5

-

4 5

5

t）：（

7 5

5

t-5

5

）=

1

4

，解得t=

105

23

；
∴點P在運動的過程中t為

25

23

或

105

23

時，tan∠PQH=

1

4

．

點評：本題考查了一次函數的綜合題：利用待定系數法確定一次函數的解析式，然后根據解析式確定線段的長或根據相似比求線段的長．也考查了菱形的性質、三角函數的定義以及分類討論思想的運用．