Question

【題目】在△ABC中，，AC=4，BC=3，點D是斜邊AB的中點． 以點D為頂點作，射線DM、DN分別交邊AC、CB于點E、F．

特例

（1）如圖1，若，不添加輔助線，圖1中所有與△ABC相似的三角形為 ， ；

操作探究：

（2）將（1）中的從圖1 的位置開始繞點D按逆時針方向旋轉，得到．如圖2，當射線分別交邊于點時，求的值；

拓展延伸：

（3）如圖3，中，，AC=m，BC=n，點D是斜邊AB的中點，以點D為頂點作，射線分別交邊的延長線于點，則的值為_______________．（用含的代數式表示，直接回答即可）

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）

【解析】

（1）證得四邊形DECF為矩形，則DF∥AC，則，，又根據三角形中位線的性質，即可求得的值；

（2）由旋轉可知∠∠，可證得，由（1）的結論可求得答案；

（3）作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，利用三角形中位線定理求得，，再證得，即可求解．

（1）∵DE∥BC，∠ACB=∠EDF=，

∴四邊形DECF為矩形，

∴DF∥AC，

∴，；

∵點D是斜邊AB的中點，

∴，，

∴，

故答案為：，，；

（2）由旋轉可知：∠∠，且∠∠，

∴，

∴，

由（1）得，

∴；

（3）作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，

∵點D是斜邊AB的中點，

∴，，

∵DG⊥AC，DH⊥BC，∠ACB=，

∴四邊形DECF為矩形，

∴∠GDH=，

又∵∠MDN=，

∴∠GDE+∠EDH=∠HDF+∠EDH=，

∴∠GDE=∠HDF，

又∵∠DGE=∠DHF=，

∴，

∴．