Question

已知：拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)，頂點C(1，－3)，與x軸交于A、B兩點，A(－1，0)．

(1)求這條拋物線的解析式．

(2)如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點D，與拋物線對稱軸交于點E，依次連接A、D、B、E，點P為線段AB上一個動點(P與A、B兩點不重合)，過點P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，請判斷是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．

(3)在(2)的條件下，若點S是線段EP上一點，過點S作FG⊥EP，FG分別與邊AE、BE相交于點F，G(F與A、E不重合，G與E、B不重合)，請判斷是否成立．若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設拋物線的解析式為y＝a(x－1)2－3　1分 　　將A(－1，0)代入：0＝a(－1－1)2－3，解得a＝　2分 　　所以，拋物線的解析式為y＝(x－1)2－3，即y＝x2－x－　3分 　　(2)是定值，＝1　4分 　　∵AB為直徑，∴∠AEB＝90°，∵PM⊥AE，∴PM∥BE，∴△APM∽△ABE，所以　① 　　同理：　②　5分 　　①＋②：　6分 　　(3)∵直線EC為拋物線對稱軸，∴EC垂直平分AB， 　　∴EA＝EB， 　　∵∠AEB＝90°， 　　∴△AEB為等腰直角三角形， 　　∴∠EAB＝∠EBA＝45°　7分 　　如圖，過點P作PH⊥BE與H， 　　由已知及作法可知，四邊形PHEM是矩形． 　　∴PH＝ME且PH∥ME． 　　在△APM和△PBH中，∵∠AMP＝∠PBH＝90°，∠EAB＝∠BPH＝45°， 　　∴PH＝BH，且△APM∽△PBH， 　　∴，∴　①　8分 　　在△MEP和△EGF中，∵PE⊥FG，∴∠FGE＋∠SEG＝90°， 　　∵∠MEP＋∠SEG＝90°，∴∠FGE＝∠MEP， 　　∵∠MPE＝∠FEG＝90°，∴△MEP∽△EGF， 　　∴　② 　　由①、②知：　9分 　　(本題若按分類證明，只要合理，可給滿分)