Question

如圖，點P是反比例函數y=（k＜0）圖象上的點，PA垂直x軸于點A（-1，0），點C的坐標為（1，0），PC交y軸于點B，連結AB，已知AB=．
（1）k的值是    ；
（2）若M（a，b）是該反比例函數圖象上的點，且滿足∠MBA＜∠ABC，則a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（-1，t）．根據題意知，A（-1，0），B（0，2），C（1，0），由此易求直線BC的解析式y=-2x+2．把點P的坐標代入直線BC的解析式可以求得點P的坐標，由反比例函數圖象上點的坐標特征即可求得k的值；
（2）如圖，延長線段BC交拋物線于點M，由圖可知，當x＜a時，∠MBA＜∠ABC；過點C作直線AB的對稱點C′，連接BC′并延長BC′交雙曲線于點M′，當x＜a時，∠MBA＜∠ABC．
解答：解：（1）如圖，PA垂直x軸于點A（-1，0），
∴OA=1，可設P（-1，t）．
又∵AB=，
∴OB===2，
∴B（0，2）．
又∵點C的坐標為（1，0），
∴直線BC的解析式是：y=-2x+2．
∵點P在直線BC上，
∴t=2+2=4
∴點P的坐標是（-1，4），
∴k=-4．
故填：-4；

（2）①如圖1，延長線段BC交雙曲線于點M．
由（1）知，直線BC的解析式是y=-2x+2，反比例函數的解析式是y=-．
則，
解得，或（不合題意，舍去）．
根據圖示知，當0＜a＜2時，∠MBA＜∠ABC；
②如圖，過點C作直線AB的對稱點C′，連接BC′并延長BC′交雙曲線于點M′．
∵A（-1，0），B（0，2），
∴直線AB的解析式為：y=2x+2．
∵C（1，0），
∴C′（-，），則易求直線BC′的解析式為：y=x+2，
∴，
解得：x=或x=，
則根據圖示知，當＜a＜時，∠MBA＜∠ABC．
綜合①②知，當0＜a＜2或＜a＜時，∠MBA＜∠ABC．
故答案是：0＜a＜2或＜a＜．
點評：本題綜合考查了待定系數法求一次函數的解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征以及分式方程組的解法．解答（2）題時，一定要分類討論，以防漏解．另外，解題的過程中，利用了“數形結合”的數學思想．