Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E是BC邊上的一個動點，連接AE，將線段AE繞點A逆時針旋轉90°，得到AF，連接EF，交對角線BD于點G，連接AG．

（1）根據題意補全圖形；

（2）判定AG與EF的位置關系并證明；

（3）當AB=3，BE=2時，求線段BG的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).

【解析】

（1）根據題意補全圖形即可；

（2）先判斷出△ADF≌△ABE，進而判斷出點C，D，F共線，即可判斷出△DFG≌△HEG，得出FG=EG，即可得出結論；

（3）先求出正方形的對角線BD，再求出BH，進而求出DH，即可得出HG，求和即可得出結論．

（1）補全圖形如圖所示，

（2）連接DF，

由旋轉知，AE=AF，∠EAF=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，AD=AB，∠ABC=∠ADC=BAD=90°，

∴∠DAF=∠BAE，

∴△ADF≌△ABE（SAS），

∴DF=BE，∠ADF=∠ABC=90°，

∴∠ADF+∠ADC=180°，

∴點C，D，F共線，

∴CF∥AB，

過點E作EH∥BC交BD于H，

∴∠BEH=∠BCD=90°，DF∥EH，

∴∠DFG=∠HEG，

∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴∠CBD=45°，

∴BE=EH，

∵∠DGF=∠HGE，

∴△DFG≌△HEG（AAS），

∴FG=EG

∵AE=AF，

∴AG⊥EF；

（3）∵BD是正方形的對角線，

∴BD=AB=3，

由（2）知，在Rt△BEH中，BH=BE=2，

∴DG=BD-BH=

由（2）知，△DFG≌△HEG，

∴DG=HG，

∴HG=DH=，

∴BG=BH+HG=2+=．