Question

在平面直角坐標系中，△AOB的位置如圖所示．已知∠AOB=90°，AO=BO，點A的坐標為（-3，1）．
（1）求點B的坐標．
（2）求過A，O，B三點的拋物線的解析式．
（3）設點B關于拋物線的對稱軸?的對稱點為B_l，連接AB₁，求tan∠AB₁B的值．

Answer 1

分析：（1）作輔助線，構造直角，在直角三角形中解題，證三角形全等，從而求得B點坐標；
（2）求解析式已知兩定點，用待定系數求出解析式；
（3）寫出對稱軸方程，由點關于直線對稱，求出對稱點，從而可求tan∠AB₁B的值．

解答：解：（1）作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別為C，D，（2分）
則∠ACO=∠ODB=90°．
∴∠AOC+∠OAC=90°．
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∴∠OAC=∠BOD．
又∵AO=BO，
∴△ACO≌△ODB．（5分）
∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴點B的坐標為（1，3）．（7分）

（2）拋物線過原點，可設所求拋物線的解析式為y=ax²+bx．
將A（-3，1），B（1，3）代入，
得

9a-3b=1 a+b=3

，
解得a=

5

6

，b=

13

6

故所求拋物線的解析式為y=

5

6

x²+

13

6

x．（10分）

（3）拋物線y=

5

6

x²+

13

6

x的對稱軸l的方程是x=-

b

2a

=-

13

10

．
點B關于拋物線的對稱軸l的對稱點為B₁（-

18

5

，3）．（12分）
在△AB₁B中，作AC₁⊥BB_l于C₁，
則C₁（-3，3），B_lC₁=

3

5

，AC₁=2．
∴tan∠AB₁B=

10

3

．（14分）

點評：此題考查直角三角形的性質及函數的性質，待定系數法求拋物線解析式，還有點關于直線對稱的問題，知識點多，但不難．