Question

【題目】如圖，已知為上的一點(diǎn)，按下列要求進(jìn)行作圖．

（1）作的平分線(xiàn).

（2）在上取一點(diǎn)，使得.

（3）愛(ài)動(dòng)腦筋的小剛經(jīng)過(guò)仔細(xì)觀察后，進(jìn)行如下操作：在邊上取一點(diǎn)，使得，這時(shí)他發(fā)現(xiàn)與之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出 與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析；（3）或．

【解析】試題分析：（1）以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與∠AOB的兩邊分別相交，再以?xún)山稽c(diǎn)為圓心，以大于兩交點(diǎn)之間的距離的一半為半徑畫(huà)弧，相交于一點(diǎn)，過(guò)這一點(diǎn)與O作射線(xiàn)OC即可；
（2）在OC上取一點(diǎn)P，使得OP=a；
（3）以O為圓心，以OD為半徑作弧，交OA于E2，連接PE2，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PM=PN，利用HL證明△E2PM≌△DPN，得出∠OE2P=∠ODP，再根據(jù)平角的定義即可求解．

試題解析：（1）如圖，OC即為所求；

（2）如圖，OP=a；
（3）∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．
理由是：以O為圓心，以OD為半徑作弧，交OA于E2，連接PE2，作PM⊥OA于M，
PN⊥OB于N，則PM=PN．
在△E2PM和△DPN中，
，
∴△E2PM≌△DPN（HL），
∴∠OE2P=∠ODP；
以P為圓心，以PD為半徑作弧，交OA于另一點(diǎn)E1，連接PE1，
則此點(diǎn)E1也符合條件PD=PE1，

∵PE2=PE1=PD，
∴∠PE2E1=∠PE1E2，
∵∠OE1P+∠E2E1P=180°，
∵∠OE2P=∠ODP，
∴∠OE1P+∠ODP=180°，
∴∠OEP與∠ODP所有可能的數(shù)量關(guān)系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．