Question

已知矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6．

（1）如圖1，點E是BC邊上的一點，BE=2，AE、BD交于點F．①求AF：FE的值；②求△BEF的面積；
（2）如圖2，將矩形紙片沿MN折疊，使點B與邊CD的中點重合，點A、B的對應點為A₁、B₁，A₁B₁與DN交于點G，求△MCB₁和△B₁DG的周長之比．

Answer 1

分析：（1）①由題意易證得△ADF∽△EBF，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得AF：FE的值；
②首先求得△ABD的面積，由等高三角形的面積比等于對應底的比，即可求得△ADF的面積，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，即可求得△BEF的面積；
（2）易證得△MCB₁∽△B₁DG，由勾股定理可求得CM的長，然后由相似三角形周長的比等于相似比，即可求得△MCB₁和△B₁DG的周長之比．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=6，
∴△ADF∽△EBF，
∴AF：FE=AD：BE=6：2=3：1，
故AF：FE的值為3．

②∵△ADF∽△EBF，
∴DF：BF=AD：BE=3：1，
∴DF：BD=3：4，
∵S_△ABD=

1

2

AB•AD=

1

2

×4×6=12，
∴S_△ADF=

3

4

×S_△ABD=9，
∵

S△ADF

S△BEF

=（

AD

BE

）²，
∴S_△BEF=1；

（2）∵∠DGB₁+∠DB₁G=90°，∠DB₁G+∠CB₁M=90°，
∴∠DGB₁=∠CB₁M，
∵∠D=∠C=90°，
∴△MCB₁∽△B₁DG．
設CM=x，則B₁M=BM=BC-CM=6-x，B₁C=

1

2

DC=2，
∴x²+2²=（6-x）²，
∴x=

8

3

，
∵△MCB₁∽△B₁DG，
∴

C△MCB1

C△B1DG

=

CM

B1D

=

4

3

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、折疊的性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．