Question

如圖①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是邊AB上的兩點，且AE=BF，DE與CF相交于梯形ABDC內一點O．
（1）求證：OE=OF；
（2）如圖②，當EF=CD時，請你連接DF、CE，判斷四邊形DCEF是什么樣的四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵梯形ABCD為等腰梯形，AB∥CD
∴AD=BC，∠A=∠B，
在△ADE與△BCF中，
∵
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴∠DEA=∠CFB，
∴OE=OF；

（2）解：?CDEF為矩形．
證明：∵DC∥EF且DC=EF
∴四邊形CDEF是平行四邊形
又由（1）得△ADE≌△BCF
∴DE=CF
∴?CDEF為矩形．
分析：（1）由等腰梯形的性質得AD=BC，∠A=∠B，因為AE=BF，根據SAS判定△ACE≌△BDF，從而得到∠CEA=∠DFB，即OE=OF；
（2）根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形DCEF是平行四邊形，又知CE=DF，所以得到四邊形DCEF是矩形．
點評：此題主要考查學生對等腰梯形的性質，全等三角形的判定及矩形的判定的理解及運用．