Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q（2，﹣1），且與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)P是該拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A不重合），過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸，交AC于點(diǎn)D．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在題（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問(wèn)是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（2﹣，1），F(xiàn)2（2+，1）．

【解析】試題分析：（1）已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，然后將函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的C點(diǎn)坐標(biāo)代入上式中，即可求出拋物線的解析式；
（2）由于PD∥y軸，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考慮兩種情況：
①以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，此時(shí)AP⊥DP，此時(shí)P點(diǎn)位于x軸上（即與B點(diǎn)重合），由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，易知OA=OC，則∠OAC=45°，所以O(shè)A平分∠CAP，那么此時(shí)D、P關(guān)于x軸對(duì)稱，可求出直線AC的解析式，然后設(shè)D、P的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線AC的解析式表示出D、P的縱坐標(biāo)，由于兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可據(jù)此求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）很顯然當(dāng)P、B重合時(shí)，不能構(gòu)成以A、P、E、F為頂點(diǎn)的四邊形，因?yàn)辄c(diǎn)P、F都在拋物線上，且點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，所以PF與x軸不平行，所以只有（2）②的一種情況符合題意，由②知此時(shí)P、Q重合；假設(shè)存在符合條件的平行四邊形，那么根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知：P、F的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可據(jù)此求出F點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為Q（2，﹣1），

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣1，

將C（0，3）代入上式，得：

3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；

∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；

（2）分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)P1為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P1與點(diǎn)B重合；

令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊，

∴B（1，0），A（3，0）；

∴P1（1，0）；

②當(dāng)點(diǎn)A為△AP2D2的直角頂點(diǎn)時(shí)；

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠OAD2=45°；

當(dāng)∠D2AP2=90°時(shí)，∠OAP2=45°，

∴AO平分∠D2AP2；

又∵P2D2∥y軸，

∴P2D2⊥AO，

∴P2、D2關(guān)于x軸對(duì)稱；

設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0）．

將A（3，0），C（0，3）代入上式得：

，

解得；

∴y=﹣x+3；

設(shè)D2（x，﹣x+3），P2（x，x2﹣4x+3），

則有：（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，

即x2﹣5x+6=0；

解得x1=2，x2=3（舍去）；

∴當(dāng)x=2時(shí)，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1；

∴P2的坐標(biāo)為P2（2，﹣1）（即為拋物線頂點(diǎn)）．

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P1（1，0），P2（2，﹣1）；

（3）由（2）知，當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P1（1，0）時(shí)，不能構(gòu)成平行四邊形；

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P2（2，﹣1）（即頂點(diǎn)Q）時(shí)，

平移直線AP交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于F；

∵P（2，﹣1），

∴可設(shè)F（x，1）；

∴x2﹣4x+3=1，

解得x1=2﹣，x2=2+；

∴符合條件的F點(diǎn)有兩個(gè)，

即F1（2﹣，1），F(xiàn)2（2+，1）．