Question

已知：在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+4x+5過點A（-1，0），對稱軸與x軸交于點C，頂點為B．
（1）求a的值及對稱軸方程；
（2）設點P為射線BC上任意一點（B、C兩點除外），過P作BC的垂線交直線AB于點D，連接PA．設△APD的面積為S，點P的縱坐標為m，求S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）設直線AB與y軸的交點為E，如果某一動點Q從E點出發，到拋物線對稱軸上某點F，再到x軸上某點M，從M再回到點E．如何運動路徑最短？請在直角坐標系中畫出最短路徑，并寫出點M的坐標和運動的最短距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線y=ax²+4x+5過點A（-1，0），把A（-1，0）代入求出a的值，進而求出拋物線的對稱軸方程；
（2）首先求出直線AB的解析式，求出點P的坐標為（2，m），點D的坐標為（，m），然后結合三角形的面積公式求出S與m的函數關系式；
（3）作點E關于x=2的對稱點E′，再作點E關于x軸對稱的點E''，連接E′E''交x軸于點M，連接EM（F與M重合）．則點Q運動的最短路徑為：E→F（M）→E．其中，點M的坐標為（2，0），最短距離即可求出．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+4x+5過點A（-1，0），
∴a=-1．
∴對稱軸方程為，

（2）∵點A為（-1，0），點B為（2，9），
∴直線AB的解析式為y=3x+3．
依題意知點P的坐標為（2，m）．
∴點D的坐標為（，m）．
∴S=PD•|m|=（2-+1）•|m|=（-）•|m|
故S與m的函數關系式為，

（3）如圖：作點E關于x=2的對稱點E′，再作點E關于x軸對稱的點E''，
連接E′E''交x軸于點M，連接EM（F與M重合）．
則點Q運動的最短路徑為：E→F（M）→E．其中，點M的坐標為（2，0）；
最短距離為．
點評：本題主要考查二次函數的綜合題的知識，解答本題的關鍵是理解題意和正確的作出圖形，此題難度較大，特別是第三問求出M的坐標很關鍵．