Question

【題目】如圖，己知拋物線y=k（x+1）（x﹣3k）（且k＞0）與x軸分別交于A、B兩點，A點在B點左邊，與Y軸交于C點，連接BC，過A點作AE∥CB交拋物線于E點，0為坐標原點．

（1）用k表示點C的坐標（0， ）；

（2）若k=1，連接BE，

①求出點E的坐標；

②在x軸上找點P，使以P、B、C為頂點的三角形與△ABE相似，求出P點坐標；

（3）若在直線AE上存在唯一的一點Q，連接OQ、BQ，使OQ⊥BQ，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）﹣3k2；（2）①（4，5）；②（，0）或（﹣，0）；（3）k=．

【解析】

試題分析：（1）只需把x=0代入拋物線的解析式，就可求出點C的坐標；

（2）①只需先求出直線AE的解析式，再求出直線AE與拋物線的交點坐標，就可解決問題；②由AE∥BC可得∠EAB=∠ABC，然后分△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB兩種情況進行討論，運用相似三角形的性質即可解決問題；

（3）由OQ⊥BQ可知點Q在以OB為直徑的圓上，由于直線AE上存在唯一的一點Q，使得OQ⊥BQ，因此以OB為直徑的圓與直線AE相切，切點為Q，圓心記為O′，連接O′Q，如圖2，易證△AQO′∽△BOC，然后只需用k的代數式表示OC、QO′、AO′、BC，再運用相似三角形的性質就可求出k的值．

解：（1）當x=0時，y=k（0+1）（0﹣3k）=﹣3k2，

∴點C的坐標為（0，﹣3k2）．

故答案為：﹣3k2；

（2）①∵k=1，

∴拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣3）．

當x=0時，y=﹣3，則點C（0，﹣3），OC=3；

當y=0時，x1=﹣1，x2=3，

則點A（﹣1，0），點B（3，0），OA=1，OB=3．

∵AE∥CB，∴△AOD∽△BOC，

∴=，

∴OD=1，即D（0，1）．

設直線AE的解析式為y=kx+b，

則，

解得：，

∴直線AE的解析式為y=x+1，

聯立，

解得：或，

∴點E的坐標為（4，5）；

②過點E作EH⊥x軸于H，如圖1，

則OH=4，BH=5，AH=5，AE==5．

∵AE∥BC，∴∠EAB=∠ABC．

Ⅰ．若△PBC∽△BAE，則=．

∵AB=4，BC==3，AE=5，

∴=，

∴BP=，

∴點P的坐標為（3﹣，0）即（，0）；

Ⅱ．若△PBC∽△EAB，則=，

∴=，

∴BP=，

∴點P的坐標為（3﹣，0）即（﹣，0）；

綜上所述：滿足條件的P點坐標為（，0）或（﹣，0）；

（3）∵直線AE上存在唯一的一點Q，使得OQ⊥BQ，

∴以OB為直徑的圓與直線AE相切于點Q，圓心記為O′，連接O′Q，如圖2，

則有O′Q⊥AE，O′Q=OO′=OB．

當x=0時，y=k（0+1）（0﹣3k）=﹣3k2，則點C（0，﹣3k2），

當y=0時，k（x+1）（x﹣3k）=0，解得x1=﹣1，x2=3k，

則點A（﹣1，0），B（3k，0），

∴OB=3k，OA=1，OC=3k2，

∴O′Q=OO′=，O′A=+1，BC==3k．

∵∠QAO′=∠OBC，∠AQO′=∠BOC=90°，

∴△AQO′∽△BOC，

∴=，

∴QO′BC=AO′OC，

∴3k=（+1）3k2，

解得：k=．