Question

如圖，已知，AB＝AC，過點A作AG⊥BC，垂足為G，延長AG交BM于D，過點A做AN∥BM，過點C作EF∥AD，與射線AN、BM分別相交于點F、E。

（1）求證：△BCE∽△AGC；

（2）點P是射線AD上的一個動點，設AP＝x，四邊形ACEP的面積是y，若AF＝5，。

①求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；

②當點P在射線AD上運動時，是否存在這樣的點P，使得△CPE的周長為最小？若存在，求出此時y的值，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）由EF∥AD可得∠AGC=∠BCE，由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再根據同角的余角相等可得∠ACB=∠BEC，即可證得結論；

（2）（x＞0）；

（3）當點P運動到點D時，B、P、E三點共線時，周長最小為

【解析】

試題分析：（1）由EF∥AD可得∠AGC=∠BCE，由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再根據同角的余角相等可得∠ACB=∠BEC，即可證得結論；

（2）由題意可得四邊形ACEP為梯形，根據梯形的面積公式即可得到結果；

（3）由圖可得當點P運動到點D時，B、P、E三點共線時周長最小，根據勾股定理即可求得結果.

（1）∵EF∥AD

∴∠AGC=∠BCE，∠ADB=∠BEC

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

∵，AG⊥BC

∴∠ABC+∠GBD=90°，∠ADB+∠GBD=90°

∴∠ABC=∠ADB

∴∠ACB=∠BEC

∴△BCE∽△AGC；

（2）由題意得四邊形ACEP為梯形

∴y關于x的函數關系式為（x＞0）；

（3）由圖可得當點P運動到點D時，B、P、E三點共線時，周長最小為.

考點：相似三角形的判定和性質，動點問題的應用

點評：動點問題的應用是初中數學的重點和難點，是中考的熱點，尤其在壓軸題中極為常見，要特別注意.