Question

如圖1，在等腰梯形ABCO中，AB∥CO，E是AO的中點，過點E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現把梯形ABCO放置在平面直角坐標系中，使點O與原點重合，OC在x軸正半軸上，點A，B在第一象限內．

（1）求點E的坐標及線段AB的長；

（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交OC于點M，過M作MN∥AO交折線ABC于點N，連結PN,設PE=x.△PMN的面積為S.

①求S關于x的函數關系式；

②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請說明理由.若存在，求出面積的最大值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC.現在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個單位的速度沿OC方向向右移動，直到點D與點C重合時停止（如圖2）.設運動時間為t秒，運動后的直角梯形為E′D′G′H′（如圖3）;試探究：在運動過程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時間t的函數關系式.

 

Answer 1

【答案】

（1）E（1，），AB=2（2）①②（3）y=-t+,y= ²

【解析】解：（1）E（1，），AB=2（ 4分）

（2）①當0≤x≤1時，S=，當時，（2分）

②若0≤x≤1時，S=                   

若時，∵-＜0 ∴S隨x的增大而減小∴S不存在最大值                         

∴綜上所述，當0≤x≤1時，S存在最大值，最大值為 (2分)

（3）當0≤t≤2時，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形內部，

這時重疊部分的面積即為直角梯形面積，y=×（2+3）×=

當2＜t≤4時，y=×（4-t+5-t）×=-t+

當4＜t≤5時，y=(5-t)××(5-t)= ²（4分）

（1）過點E作OC的垂線EW，垂足為W，解直角三角形EOW可求得點E的坐標，

以及線段AB的值

(2)中利用線線平行和已知的AO=MN，求三角形PMN面積,只需要求解高即可，利用給出的x分類討論，0≤x≤1和當時點到兩種不同的結果，然后根據得到的面積表達式為二次函數，利用二次函數的性質得到最值。

 

（3）根據梯形運行的時間可知，求解的面積公式需要分類討論。當0≤t≤2時，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形內部，這時重疊部分的面積即為直角梯形面積

當2＜t≤4時，和當4＜t≤5時，結合梯形面積公式得到結論。